z gesucht / keine Kapitalsumme < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 So 15.01.2012 | | Autor: | DAWA61 |
| Aufgabe 1 | | Zu welchem Zinssatz muss man ein Kapital anlegen, damit es sich nach 20 Jahren bei monatlicher Verzinsung verdoppelt? |
| Aufgabe 2 | | Wie viele Jahre muss man ein Kapital anlegen, damit es sich nach 20 Jahren bei monatlicher Verzinsung verdoppelt? |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=479666&threadview=0&hilight=&hilightuser=0&sid=d06195451ca2a844bc58aa01b6ce7b9b&page=2
Aber ich bin mit den Antworten überhaupt nicht zurecht gekommen. Meine Lösungsversuche haben dazu geführt, dass ich für die erste Aufgabe folgende Lösung fand:
ln(15000) -ln(5000) / ln (1,0711) ergibt 15.9946 also ca. 16 Jahre.
Bei der 2. Aufgabe weiß ich nach 3 Tagen Versuch keine Lösung.
Bekannt ist K20 = 2 (x) und m= 4 und n = 20.
Wie gesagt, ich bin bereit selbst zu arbeiten. Aber ich weiß überhaupt nicht, wie man an so eine Aufgabe rangeht. Ich habe keine Ahnung wie man vorgeht,wenn man kein Ko oder Kn als Summe hat.
Also wenn ihr mir wieder so Klasse helfen würdet wie beim ersten Mal - ich wäre euch wirklich dankbar. Und ich würde es gern verstehen!
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Hallo,
könntest du (weil es keine mathematische Frage ist, sondern eine finanztechnische) diesmal als erstes klären, was genau unter
- monatlicher Verzinsung
- Jahreszins
hier zu verstehen ist?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 So 15.01.2012 | | Autor: | DAWA61 |
| Aufgabe | | Ist meine Frage damit endgültig aus dem Pool? |
monatliche Verzinsung = Monatliche Verzinsung heißt, dass "zinseszinslich" gerechnet wird, also nach einem Monat die Zinsen dem Anfangskaptial Ko(Anfangskapital) zugeschlagen werden usw. so dass am Ende der Verzinsung nicht einmalig Zinsen gezahlt werden, sondern sich eben monatlich das Kapital erhöht, dieses wird dann am Ende des nächsten Monats wieder verzinst und am Ende des Verzinsungsprozesses werden Ko(Anfangskapital) + Zinsen nach m Verzinsungen und/oder n Jahren ausgezahlt.
Jahreszinssatz: ist der Zins den man für ein Kapital bekommt wenn man es 1 Jahr (m=1) oder 360 Tage (m=360) oder 12 Monate (m=12)lang liegen lässt und dann zu dem Ko (Anfangskapital) die Zinsen dazukommen.
Im ersten Fall (monatlich) ist die (Zinsen)summe am Ende höher, weil ja viel öfter aufgezinst wurde.
Ich habe die Aufgabe in das Forum für Uni-Finanzmathematik gestellt.
Damit ist meine Frage noch nicht beantwortet gewesen,aber leider als solche markiert. Warum ist das so?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 So 15.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi DAWA,
Grundlage ist die altbekannte Formel für die unterjährige Verzinsung:
[mm] K_{n}=K_0*(1+\bruch{p}{100*m})^{m*n}
[/mm]
dabei ist
[mm] K_{n} [/mm] das Endkapital nach n Jahren
[mm] K_{0} [/mm] Startkapital
p Jahreszinssatz in %
m Anzahl der Zinsintervalle innerhalb eines Jahres
n Anzahl der Jahre
Bei Aufgabe 1 hast du n=20. Monatliche Verzinsung, also m=12. Das Kapital nach 20 Jahren soll sich verdoppelt haben, also [mm] K_{20}=2*K_0.
[/mm]
Gesucht ist p. Alles in die Formel einsetzen:
[mm] 2*K_0=K_0*(1+\bruch{p}{100*12})^{12*20}
[/mm]
[mm] \gdw 2*K_0=K_0*(1+\bruch{p}{1200})^{240}
[/mm]
Um an p zu kommen, mußt du exakt dieselben Schritte ausführen, die dir Diophant im andern Thread schon gezeigt hat, du erinnerst dich?
Aufgabe 2:
Da hast du dich in der Aufgabenstellung wohl vertippt, denn das ergibt keinen Sinn : " nach wieviel Jahren... damit nach 20 Jahren..." Ich nehme an ein Copy Paste Fehler und stattdessen ist noch ein Jahreszinssatz angegeben. Gesucht ist n (das ist jetzt meine Vermutung, ich muß natürlich die richtige Aufgabenstellung sehen). Die Vorgehensweise ist meistens erstmal gleich: Alles was gegeben ist, p, [mm] K_n=2*K_0, [/mm] m=12 in die Formel einsetzen:
[mm] 2*K_0=K_0*(1+\bruch{p}{1200})^{12*n}
[/mm]
p kann ich ja grade nicht einsetzen, da stünde dann auch ne Zahl.
Erstmal durch [mm] K_0 [/mm] dividieren.
Um jetzt an den Exponent ran zukommen, brauchst du den Logarithmus. Zu welcher Basis ist egal, ich bevorzuge den natürlichen [mm] (\ln), [/mm] hier wäre auch zur Basis 2 günstig [mm] (\log_2). [/mm] Also auf beiden Seiten logarithmieren:
[mm] \ln(2)=\ln((1+\bruch{p}{1200})^{12*n}) [/mm] Kuck mal die Logarithmengesetze nach,falls du nicht mehr firm bist: abgekürzt gilt [mm] \ln(a^b)=b*\ln(a), [/mm] damit haben wir dann
[mm] \ln(2)=12*n*\ln(1+\bruch{p}{1200}) [/mm] jetzt nur noch durch 12 und [mm] \ln(1+\bruch{p}{1200}) [/mm] dividieren, den Rest macht der Taschenrechner.
LG walde
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 So 15.01.2012 | | Autor: | DAWA61 |
| Aufgabe | Und wie geht das nun? Sorry aber meine Schulzeit ist 30 Jahre her und ich blicke überhaupt nicht durch beim Formelumstellen.
Logarhytmieren wenn gesuchte Zahl im Exponenten steht.
Radizieren wenn gesuchte Zahl im Nenner steht. |
Um an z zu kommen schrieb Diophant:
Formel Kmn=Ko*(1+ z/100)^mn
z freisetzen indem man
- K0 dividierst
- die (m*n).te Wurzel ziehst
- 1 subtrahierst
- mit dem verbleibenden Nenner* multiplizierst
kam raus Kmn=mn.te Wurzel aus Kn/Ko -1 = Lösung
Hier schreibst du nun:
2Ko= Ko*(1+z/1200)^240 (soweit ist mir das nun klar, sorry, hat gedauert). Also habe ich wieder die gleiche Unbekannte, nämlich z in der Formel. Die steht im Zähler.
Also wie komme ich dann mit meiner Diophant Formel weiter?
2 Ko=Ko*(1+z/1200)^240 durch Ko
2Ko/Ko=(1+z/1200)^240/Ko 240 Wurzel ziehen
240 Wurzel aus 2Ko/Ko = 240 Wurzel(1+z/1200 -1
240 Wurzel aus 2 Ko/Ko -1 = 240 Wurzel z/1200 * ja. was ist denn nun der verbleibende Nenner?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 So 15.01.2012 | | Autor: | Walde |
Hi DAWA,
dann hole ich mal bisschen aus:
Rechenreihenfolge ist:Punktrechnung vor Strichrechnung, das kennste noch. Es gibt dann noch Potenzrechung, die geht noch vor Punktrechnung und innerhalb der Klammer muß man zuallererst rechnen. Also:
a.innerhalb Klammern
b.Potenzen
c.Punkt
d.Strich
Das ist die Rechenreihenfolge, wenn man einen Term ausrechnen soll. Zum Auflösen nach einer Variablen geht man in umgekehrter Reihenfolge vor.
1.Strich
2.Punkt
3.Potenzen
4.Klammern
Und nach jedem Schritt fängt man wieder neu an diese Liste abzuarbeiten:Erst eine Strichrechnung, wenn man das hat, kuckt man, ob es noch mehr Strichrechnung gibt, falls nicht, dann Punktrechnung. Dann kuckt man, ob es wieder Strichrechnung gibt, usw.
Konkret hier:
[mm] 2*K_0=K_0*(1+\bruch{p}{1200})^{240}
[/mm]
Strichrechung gibt es nicht, die innerhalb der Klammer, zählt unter Punkt 4. Also dann Punktrechnung und da haben wir das [mm] K_0. [/mm] Also wird dadruch dividiert, dann fällt es aber doch auf beiden Seiten weg, denn [mm] K_0/K_0=1, [/mm] es soll ja rechts auch wegfallen, sonst wären wir unserem Ziel ja nicht näher, also
[mm] 2=(1+\bruch{p}{1200})^{240}
[/mm]
Kein Strich, kein Punkt, aber Potenz, also radizieren,dann fällt die Potenz rechts weg (gemäß [mm] \wurzel[n]{x^n}=x, [/mm] für [mm] x\ge [/mm] 0), soll sie ja auch:
[mm] \wurzel[240]{2}=1+\bruch{p}{1200}
[/mm]
Die Klammer darf man dann einfach weglassen, sie erfüllt ja nun rechts keinen Zweck mehr. Jetzt gibt es wieder Strichrechnung, also muß die zuerst wieder aufgelöst werden: -1 auf beiden Seiten:
[mm] \wurzel[240]{2}-1=\bruch{p}{1200}
[/mm]
Kein Strich, aber Punktrechnung (Division zählt ja zur Punktrechnung), man multipliziert mit 1200. Vorsicht auf der linken Seite, braucht man jetzt entweder eine Klammer oder wendet gleich das Distributivgesetz an.
[mm] 1200*(\wurzel[240]{2}-1)=p
[/mm]
Unsere Arbeit ist fertig, jetzt weiter mit'm Taschenrechner.
Klarer geworden? Ach und bitte, falls du noch Fragen hast, freunde dich mit dem Formeleditor an, die Augen der Helfer danken es dir 
LG walde
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:34 Mo 16.01.2012 | | Autor: | DAWA61 |
Hallo Walde,
erst einmal: du kennst mich nicht, ich kenne dich nicht. Und dennoch bist du bereit dir so eine Arbeit zu machen.
Ich werde also erstens versuchen, das nachzuvollziehen und dir dann Rückmeldung geben.
Vielen Dank für die Mühe die du dir bis hierhin schon gemacht hast. Allein, dass sich mal jemand anschickt, das Formelumstellen zu demonstrieren hilft sicherlich ganz vielen Menschen.
LG
DAWA
PS und dann weiß ich auch wie man das lesbarer macht. Versprochen. DAWA
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Mo 16.01.2012 | | Autor: | DAWA61 |
Hallo Walde,
Lösung: 3,4707 %. Die Lösung kannte ich vom Prof. Aber nicht WIE man da hinkommt.Dann sitzt man in der Klausur und weiß nicht, ob das, was man da tut richtig ist.
Es ist dir gelungen, das (selbst mir)so gut zu erklären, dass ich n und Kn oder Ko auslösen kann. Und das es jetzt auch bei den anderen Formeln funktioniert. Weil ich weiß, was ich wann tun muss.
Du hast mir eine Menge Angst genommen, viel Sicherheit gegeben und ich bin einfach nur begeistert.
Also: Mathe kann richtig Spass machen. Jetzt habe ich noch 3,5 Tage mich auf den Gauss-Markov zu stürzen. Und verflixt noch mal: Das kriege ich auch hin.
Danke.
LG
DAWA61
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