y'=-xe^{y} < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Do 01.02.2018 | | Autor: | Ice-Man |
Hallo,
ich habe bitte eine Frage zu folgender DGL.
[mm] y'=-xe^{y}
[/mm]
Ich soll diese lösen bin mir aber nicht ganz sicher ob das richtig ist.
Vielleicht kann jemand bitte meinen Rechenweg überprüfen bzw. mir einen Tipp geben.
Danke
[mm] y'=-xe^{y}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx}=-xe^{y}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{f(\bruch{dy}{e^{y}}) dy}=\integral_{}^{}{-x dx}
[/mm]
[mm] -e^{-y}+C=-\bruch{1}{2}x^{2}+C
[/mm]
[mm] ln*-e^{-y}+c=ln*-\bruch{1}{2}x^{2}+C
[/mm]
[mm] y=2ln(-\bruch{1}{2}x)+c
[/mm]
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Hallo,
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> ich habe bitte eine Frage zu folgender DGL.
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> [mm]y'=-xe^{y}[/mm]
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> Ich soll diese lösen bin mir aber nicht ganz sicher ob das
> richtig ist.
> Vielleicht kann jemand bitte meinen Rechenweg überprüfen
> bzw. mir einen Tipp geben.
>
> Danke
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> [mm]y'=-xe^{y}[/mm]
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> [mm]\bruch{dy}{dx}=-xe^{y}[/mm]
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> [mm]\integral_{}^{}{f(\bruch{dy}{e^{y}}) dy}=\integral_{}^{}{-x dx}[/mm]
Also Trennung der Variablen ist hier genau der richtige Ansatz.
> [mm]-e^{-y}+C=-\bruch{1}{2}x^{2}+C[/mm]
Das sollten hier zwei unterschiedliche Konstanten sein. Aber man kann die linke genauso gut auch weglassen (darauf läuft es ja sowieso hinaus).
Ab hier wird es falsch:
>
> [mm]ln*-e^{-y}+c=ln*-\bruch{1}{2}x^{2}+C[/mm]
>
> [mm]y=2ln(-\bruch{1}{2}x)+c[/mm]
Du kannst keinen negativen Ausdruck logarithmieren. Also muss man erst einmal mit (-1) durchmultiplizieren. Danach wird logarithmiert, und da muss die Konstante natürlich in das Argument der Logarithmusfunktion und darf nicht außerhalb zu stehen kommen. Wo du die 2 vor dem Logarithmus herhast, ahne ich zwar, möchte es aber gar nicht so genau wissen. 
So geht es richtig:
[mm]\begin{aligned}
-e^{-y}&=-\frac{1}{2}x^2+c\ ;\ C=-c\Rightarrow\\
e^{-y}&=\frac{1}{2}x^2+C\\
-y&=ln\left(\frac{1}{2}x^2+C\right)\\
y&=-ln\left(\frac{1}{2}x^2+C\right)=ln\left( \frac{1}{\frac{1}{2}x^2+C}\right)=ln\left( \frac{2}{x^2+2C}\right)
\end{aligned}[/mm]
wobei du die Konstante 2C ja jetzt wieder ersetzen kannst etwa mittels c=2C.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:36 Do 01.02.2018 | | Autor: | Diophant |
Ein kleiner Nachtrag:
Die Schreibweise
[mm] \int{f\left(\frac{dy}{e^y}\right)}
[/mm]
ist Unsinn. Der Integrand ist einfach
[mm] \frac{y}{e^y}=y*e^{-y}
[/mm]
Gruß, Diophant
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