y''-y' = sinx < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | [mm] $$\frac{d^2}{dx^2} [/mm] - [mm] \frac{dy}{dx} [/mm] = sinx$$ |
hier mal mein Lösungsversuch
Homogene Lösung mittels Hilfsgleichung:
[mm] $m^2 [/mm] - m = 0 [mm] \Leftrightarrow [/mm] m(m-1) = 0 [mm] \Leftrightarrow m_1 [/mm] = 0, [mm] m_2 [/mm] = 1$
[mm] $\Rightarrow y_h [/mm] = A + [mm] Be^x$
[/mm]
Partikuläre Lösung:
[mm] $y_p [/mm] = Csinx + Dcosx$
[mm] $y_p' [/mm] = Ccosx - Dsinx$
[mm] $y_p'' [/mm] = -Csinx - Dcosx$
[mm] $\Rightarrow [/mm] -Csinx - Dcosx -Ccosx + Dsinx = sinx$
ok, das müsste ich jetzt irgendwie nach der Konstanten auflösen - aber ich krieg es beim besten Willen nicht hin. Ist das bis hierhin überhaupt richtig? Wie löse ich den letzten Term nach der Konstanten auf? Ich blick das irgendwie nicht so richtig...
Danke, Gruß GB
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:45 Do 15.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\frac{d^2}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = sinx[/mm]
> hier mal mein
> Lösungsversuch
>
> Homogene Lösung mittels Hilfsgleichung:
> [mm]m^2 - m = 0 \Leftrightarrow m(m-1) = 0 \Leftrightarrow m_1 = 0, m_2 = 1[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow y_h = A + Be^x[/mm]
>
> Partikuläre Lösung:
> [mm]y_p = Csinx + Dcosx[/mm]
> [mm]y_p' = Ccosx - Dsinx[/mm]
> [mm]y_p'' = -Csinx - Dcosx[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow -Csinx - Dcosx -Ccosx + Dsinx = sinx[/mm]
Es folgt: $(D-C)sin(x) -(D+C)cos(x) = sin(x)$
Koeffizientenvergleich liefert:
D-C = 1 und D+C = 0
So, jetzt Du
FRED
>
> ok, das müsste ich jetzt irgendwie nach der Konstanten
> auflösen - aber ich krieg es beim besten Willen nicht hin.
> Ist das bis hierhin überhaupt richtig? Wie löse ich den
> letzten Term nach der Konstanten auf? Ich blick das
> irgendwie nicht so richtig...
>
> Danke, Gruß GB
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> > [mm]\frac{d^2}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = sinx[/mm]
> > hier mal mein
> > Lösungsversuch
> >
> > Homogene Lösung mittels Hilfsgleichung:
> > [mm]m^2 - m = 0 \Leftrightarrow m(m-1) = 0 \Leftrightarrow m_1 = 0, m_2 = 1[/mm]
>
> >
> > [mm]\Rightarrow y_h = A + Be^x[/mm]
> >
> > Partikuläre Lösung:
> > [mm]y_p = Csinx + Dcosx[/mm]
> > [mm]y_p' = Ccosx - Dsinx[/mm]
> >
> [mm]y_p'' = -Csinx - Dcosx[/mm]
> >
> > [mm]\Rightarrow -Csinx - Dcosx -Ccosx + Dsinx = sinx[/mm]
>
> Es folgt: [mm](D-C)sin(x) -(D+C)cos(x) = sin(x)[/mm]
>
>
> Koeffizientenvergleich liefert:
>
> D-C = 1 und D+C = 0
>
> So, jetzt Du
>
> FRED
Koeffizietenvergleich - den Anstoß hab ich gebraucht  . Also:
$C = [mm] -\frac{1}{2}, [/mm] D = [mm] \frac{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow y_p [/mm] = [mm] -\frac{1}{2}sinx [/mm] + [mm] \frac{1}{2} [/mm] cosx = [mm] \frac{1}{2} [/mm] (cosx - sinx)$
Als Lösung ergibt sich:
$y(x) = [mm] y_h [/mm] + [mm] y_p [/mm] = A + [mm] Be^x [/mm] + [mm] \frac{cosx - sinx}{2}$
[/mm]
Richtig?
Vielen Dank für deine Hilfe!!
> >
> > ok, das müsste ich jetzt irgendwie nach der Konstanten
> > auflösen - aber ich krieg es beim besten Willen nicht hin.
> > Ist das bis hierhin überhaupt richtig? Wie löse ich den
> > letzten Term nach der Konstanten auf? Ich blick das
> > irgendwie nicht so richtig...
> >
> > Danke, Gruß GB
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Do 15.10.2009 | | Autor: | fred97 |
> > > [mm]\frac{d^2}{dx^2} - \frac{dy}{dx} = sinx[/mm]
> > > hier mal
> mein
> > > Lösungsversuch
> > >
> > > Homogene Lösung mittels Hilfsgleichung:
> > > [mm]m^2 - m = 0 \Leftrightarrow m(m-1) = 0 \Leftrightarrow m_1 = 0, m_2 = 1[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\Rightarrow y_h = A + Be^x[/mm]
> > >
> > > Partikuläre Lösung:
> > > [mm]y_p = Csinx + Dcosx[/mm]
> > > [mm]y_p' = Ccosx - Dsinx[/mm]
> >
> >
> > [mm]y_p'' = -Csinx - Dcosx[/mm]
> > >
> > > [mm]\Rightarrow -Csinx - Dcosx -Ccosx + Dsinx = sinx[/mm]
> >
> > Es folgt: [mm](D-C)sin(x) -(D+C)cos(x) = sin(x)[/mm]
> >
> >
> > Koeffizientenvergleich liefert:
> >
> > D-C = 1 und D+C = 0
> >
> > So, jetzt Du
> >
> > FRED
>
> Koeffizietenvergleich - den Anstoß hab ich gebraucht .
> Also:
> [mm]C = -\frac{1}{2}, D = \frac{1}{2}[/mm]
> [mm]\Rightarrow y_p = -\frac{1}{2}sinx + \frac{1}{2} cosx = \frac{1}{2} (cosx - sinx)[/mm]
>
> Als Lösung ergibt sich:
> [mm]y(x) = y_h + y_p = A + Be^x + \frac{cosx - sinx}{2}[/mm]
>
> Richtig?
Ja
FRED
> Vielen Dank für deine Hilfe!!
>
>
> > >
> > > ok, das müsste ich jetzt irgendwie nach der Konstanten
> > > auflösen - aber ich krieg es beim besten Willen nicht hin.
> > > Ist das bis hierhin überhaupt richtig? Wie löse ich den
> > > letzten Term nach der Konstanten auf? Ich blick das
> > > irgendwie nicht so richtig...
> > >
> > > Danke, Gruß GB
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