x,y Nullstellen einer Tangente < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:13 Mo 19.06.2006 | | Autor: | f_tuelle |
| Aufgabe | Es soll die Parabel y = 8 - [mm] (x+1)^{2} [/mm] im ersten Quadranten betrachtet werden.
(a) Zeigen Sie, dass die Tangente an die Parabel an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] > 0 die Gleichung [mm] t_{x0}(x) [/mm] = [mm] x_{o}^{2} [/mm] + 7 - [mm] 2(x_{0} [/mm] + 1)x hat.
(b) Ermitteln Sie die Schnittpunkte dieser Tangente mit der x- und der y-Achse.
(c) Die Tangente [mm] t_{x0} [/mm] schließt mit den beiden Koordinatenachsen ein rechtwinkliges Dreieck ein. Für welchen Wert von [mm] x_{0} [/mm] ist der Flächeninhalt dieses Dreiecks am kleinsten?
(Hinweis: Sie können die Formel [mm] \bruch{d}{dx}(\bruch{(a+x^{2})^{2}}{1+x}) [/mm] = [mm] \bruch{(a+x^{2})(3x^{2} + 4x - a)}{(1+x)^{2}} [/mm] verwenden.)
|
Hallo,
mein Problem habe ich speziell mit Teil (b):
Ich habe im Moment noch keine andere Idee, die Tangentenschnittpunkte zu ermitteln, die sich ja in einem Intervall auf der x- bzw. y-Achse befinden, ausser die Nullstellen bzw. y-Schnittpunkte der Funktion zu berechnen, welche den Intervallanfang darstellen, diese in die Tangentengleichung einzusetzen und damit den größten Wert auf x- und y-Achse zu bekommen (Intervallende) den die Tangente schneiden kann. Dies sollte doch funktionieren, da die Funktion eine Parabel ist, aus deren Stetigkeit folgt, dass im Intervall alle Punkte auf der jeweiligen Achse erreicht werden die zwischen Intervallanfang und Ende liegen (Mittelwertsatz).
Ich gehe aber davon aus, soweit ich keinen Fehler gemacht habe, dass es noch eine elegatere Lösung gibt da die Nullstellen mit der X-Achse der Funktion nicht gerade "schön" sind.
Ausserdem kann ich mit der Quotientenableitung die als Hinweis gegeben wurde nichts anfangen. Ich weiß nicht wie und für was ich diese Formel einsetzen soll.
Ich bräuchte bei der Aufgabe bisschen Unterstützung.
Danke
Ferdi
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
hi
in der aufgabe b) soll man die schnittstellen der tangente berechnen.
und soweit ich das sehe, versuchst du das an hand der parabel (korrigier mich, wenn das falsch ist)
wenn du dann für x und y jeweils 0 einsetzt, müsstest du eigentlich die shcnittpunkte mit den achsen herausbekommen.> Es soll die Parabel y = 8
die genauen werte hab ich jetzt zwar noch nicht berechnet, dürfte dann aber auch nicht mehr so schwierig sein.
hoffe dir weiter geholfen zu haben
gruß marina
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Mi 21.06.2006 | | Autor: | f_tuelle |
So wie du gesagt hast müsste es jedenfalls auch gehen! Auf die Idee bin ich ja auch schon gekommen. Das Problem ist nur, dass man die Nullstelle für an der x-Achse für y=0 nur Näherungsweise bestimmen kann... Nach der "Mitternachtsformel" für Nullstellenberechnung quadratischer Polynome hätte man ja die Wurzel aus 32, wenn ich mich recht erinnere... keine sehr schöne Lösung... Deshalb such ich nach einem eleganteren Weg für die Lösung des Problems...
danke
Ferdi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Do 22.06.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo f_tuelle!
Wozu benötigst Du denn die Mitternachtsformel bzw. p/q-Formel zur Ermittlung der Nullstelle der Tangente?
Du musst folgende Gleichung nach $x \ = \ ...$ umstellen (nicht nach [mm] $x_0$ [/mm] !) :
$0 \ = \ [mm] x_0^2+7-2*\left(x_0+1\right)*\red{x}$
[/mm]
Damit erhalte ich dann für [mm] $x_0 [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 1$ : $x \ = \ \ [mm] x_N [/mm] \ = \ [mm] \bruch{x_0^2+7}{2*\left(x_0+1\right)}$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
|
