x gleichzeitig Pol und Nullst. < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Sagen wir ich habe eine Funktion, bei der ein [mm] x_{0} [/mm] gleichzeitig Nullstelle und mehrfache Polstelle ist ...
Was ist die Ordnung von einem solchen [mm] x_{0}?
[/mm]
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> Sagen wir ich habe eine Funktion, bei der ein [mm]x_{0}[/mm]
> gleichzeitig Nullstelle und mehrfache Polstelle ist ...
>
> Was ist die Ordnung von einem solchen [mm]x_{0}?[/mm]
Normalerweise tritt so etwas gar nicht auf !
Du denkst wohl an Beispiele wie etwa
[mm] f(x)=\bruch{(x-3)*(2x+1)}{(x^2-9)*(x-3)}
[/mm]
Die Zahl 3 ist keine Nullstelle dieser Funktion, weil
der Nenner in diesem Fall null ist. Division durch null geht
nicht, auch [mm] \bruch{0}{0} [/mm] nicht !
Im obigen Beispiel liegt bei x=3 ein Pol erster Ordnung (also
mit Vorzeichenwechsel) , aber
eben keine Nullstelle.
Ein Faktor (x-3) kürzt sich weg, aber ein weiterer solcher
Faktor steckt noch im Ausdruck [mm] (x^2-9). [/mm]
LG
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Danke für deine Antwort,
Habe eine kleine Rückfrage mit trivialbeispiel:
Was wäre mit:
[mm] f(z)=\frac{z^2}{z}
[/mm]
Ist das jetzt eine Nullstelle erster Ordnung, eine Polstelle erster Ordnung oder gar eine hebbare Singularität?
und was wäre mit
[mm] f(z)=\frac{x^2+1}{(x-i)^2}
[/mm]
ist i jetzt eine Polstelle oder eine Nullstelle :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:19 So 06.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Danke für deine Antwort,
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> Habe eine kleine Rückfrage mit trivialbeispiel:
>
> Was wäre mit:
> [mm]f(z)=\frac{z^2}{z}[/mm]
>
> Ist das jetzt eine Nullstelle erster Ordnung, eine
> Polstelle erster Ordnung oder gar eine hebbare
> Singularität?
Da f für z=0 nicht definiert ist, kann es keine Nullstelle sein. Für alle anderen z ist die Funktion kürzbar zu f(z)=z (mit einer einzigen Lücke bei z=0), also hebbare Singularität.
>
> und was wäre mit
>
> [mm]f(z)=\frac{x^2+1}{(x-i)^2}[/mm]
Das ist das gleiche wie [mm]f(z)=\frac{(x-i)(x+i)}{(x-i)^2}[/mm] bzw. [mm] \frac{(x+i)}{(x-i)}, [/mm] falls x [mm] \ne [/mm] i.
Für x=i ist der Zähler ungleich Null, aber der Nenner Null, also Polstelle.
Gruß Abakus
>
> ist i jetzt eine Polstelle oder eine Nullstelle :)
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