x berrechnen: sinusfunktion < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
2sin(1/2x)=1,8
diese gleichung is gegeben und ich muss die x berrechnen, aber da ja kein intervall vorgegeben is, wären es ja unendlich viele lösungen...
jetzt muss man wahrscheinlich irgendwo ne variable einsetzen...
ich weiß aber nicht wie und wo.. |
hat jemand eine idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, best_amica,
> 2sin(1/2x)=1,8
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> diese gleichung is gegeben und ich muss die x berrechnen,
> aber da ja kein intervall vorgegeben is, wären es ja
> unendlich viele lösungen...
Stimmt!
Es erleichtert solche Aufgaben meist, wenn man das Argument (außer bei einfachem x!) substituiert: z = 1/2x
2*sin(z) = 1,8 | :2
sin(z) = 0,9
Taschenrechner (RAD-Einstellung nicht vergessen!) ergibt:
[mm] z_{TR} \approx [/mm] 1,120
Daraus ergibt sich schon mal die Hälfte der Lösungen:
[mm] z_{1} [/mm] = 1,120 + [mm] 2k\pi [/mm] (k [mm] \in \IZ)
[/mm]
und nach Rücksubstitution (x=2z): [mm] x_{1} [/mm] = 2,240 + [mm] 4k\pi
[/mm]
Wenn man sich die Sinusfunktion skizziert erkennt man, dass es noch weitere Lösungen gibt. Die "erste" davon liegt ebenso weit links von [mm] \pi [/mm] wie die TR-Lösung rechts von 0. Daher:
[mm] z_{2} [/mm] = [mm] (\pi [/mm] - 1,120) + [mm] 2k\pi \approx [/mm] 2,022 + [mm] 2k\pi [/mm]
Und daraus: [mm] x_{2} [/mm] = 4,044 + [mm] 4k\pi
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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hallo,
kann man das denn auch noch anders berrechnen?
ich bevorzuge die variante mit der substitution nicht so...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Fr 19.01.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo best_amica!
Wo ist denn der Unterschied, wenn Du hier die o.g. Substitution weglässt.
Du erhältst dann als Gleichung: [mm] $\bruch{1}{2}x [/mm] \ = \ [mm] \arcsin(0.9) [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 1.120$
Und nun weiter wie oben beschrieben.
Gruß
Loddar
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Hi, best_amica,
um zu verstehen, dass eine Gleichung wie z.B.
sin(x) = 0,5
zwischen 0 und [mm] 2\pi [/mm] zwei Lösungen hat, musst Du Dir den Graphen von y=sin(x) zeichnen und dann die waagrechte Gerade y=0,5.
Im Grunde berechnest Du ja die Schnittpunkte der Sinuskurve mit dieser Geraden.
Du erkennst: Die Gerade schneidet die Sinuskurve genau 2 mal:
Bei x = [mm] \bruch{pi\{6} (der Taschenrechner meldet: x\approx 0,5236)
und bei x = \bruch{5}{6}\pi.
Letztere Lösung liefert Dir der TR NICHT;
Du musst sie logisch erschließen - und das geht am leichtesten mit Hilfe der Zeichnung!
Aber es steckt eine Grundregel drin: Die zweite Lösung x_{2}ergibt sich immer über die Gleichung: x_{2} = \pi - x_{1}.
(Das gilt auch dann, wenn sin(x) = a mit -1 < a < 0 berechnet werden sollen; nur liegt dann hat die TR-Lösung x_{1} nicht zwischen 0 und 2\pi}.) [/mm]
Und wegen der Periodizität der Sinusfunktion "wiederholen sich" beide Lösungen jeweils im Abstand von [mm] 2\pi. [/mm]
(Beim Cosinus ist die Sache wegen der Achsensymmetrie sogar viel einfacher: cos(x) = 0,5 hat die Lösungen x = [mm] \pm \bruch{pi}{3}.
[/mm]
Auch hier "wiederholen sich" beide Lösungen im Abstand von [mm] 2\pi.) [/mm]
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