x*a+y*b=c Lösung in Z < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:52 So 27.04.2014 | | Autor: | Mathe93 |
| Aufgabe | Es seien a,b ∈ N und c ∈ Z. Zeigen sie:
x*a+y*b=c
hat genau dann eine Lösung in Z (i.e. es gibt zwei ganze Zahlen u,v ∈ Z mit ua+vb=c) falls gilt:
ggT(a,b) | c |
Wie fange ich an? Ich weiß das es etwas mit dem euklidischen Algorithmus zu tun hat aber ich finde einfach keinen Ansatz!
Nur für Erst-Poster
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 So 27.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
Teile die Gl durch ggT(a,b) dann stehen links immer noch ganze Zahlen, rechts ein echter Bruch, wenn ggT(a,b) c nicht teilt. d.h. dann gibt es sicher keine ganzzahleige lösung.
das es eine Lsg gibt wenn ggt(ab) c teilt , sagt genau der Euklidsche Algorithmus., nachdenm du durch ggT geteilt hast.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 Mo 28.04.2014 | | Autor: | Mathe93 |
Also wäre meine Gleichung mit der ich rechne diese;
(x*a+y*b)/ggT(a,b) = c/ggT(a,b)
Aber irgendwie hilft die mir nicht weiter sondern verkompliziert das ganze noch!
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Hallo Mathe93, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Also wäre meine Gleichung mit der ich rechne diese;
> (x*a+y*b)/ggT(a,b) = c/ggT(a,b)
> Aber irgendwie hilft die mir nicht weiter sondern
> verkompliziert das ganze noch!
In leduarts Antwort steht wirklich alles drin, was für die Lösung nötig ist. Lies sie nochmal gründlich und denk drüber nach.
Setze z.B. [mm] a=\alpha*\ggT{(a,b)} [/mm] und [mm] b=\beta*\ggT{(a,b)}, [/mm] wobei natürlich [mm] \alpha,\beta\in\IN.
[/mm]
Damit ist die eine Richtung schon vollständig zu zeigen.
Für die andere Richtung geht es mit dem (erweiterten!) euklidischen Algorithmus oder noch einfacher mit dem ![[]](/images/popup.gif) Lemma von Bézout.
Bedenke dazu, dass [mm] \ggT{(\alpha,\beta)}=1 [/mm] ist.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 Mo 28.04.2014 | | Autor: | Mathe93 |
Ahhh jetzt habe ich es auch vielen dank!
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