x=1 ist eine leer Menge? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \bruch{3-x}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{x+2}{x-1} [/mm] = [mm] \bruch{9}{x²-1} [/mm] |
Guten Abend,
Kurze Vorgeschichte
Bevor ich nun anfange meine Frage zu stellen, ist vielleicht zu berücksichtigen, dass mir einiges an Background-Wissen fehlt.
Ich habe es geschafft von der Hauptschule auf ein Gymnasium zu kommen. Nun fehlt mir noch ein wenig Wissen, damit ich mithalten kann. Leider steht nicht alles in meinen Büchern und im Internet konnte ich auch nicht viel dazu finden. Ich wäre also sehr dankbar für Tipps zu Mathematik (noch bessser: gute Algebra) Lektüren.
Das Problem
Wir schreiben am Freitag eine kurzen Test, aber ich habe noch ein kleines Problem. Nun habe ich die Gleichung auf x = 1 gebracht, aber auf meinem Zettel, wo auch die Lösungen drauf sind, steht dass das Ergebnis, eine leere Menge ist. Ist x = 1 eine leere Menge?
Hier einmal meine Gleichung und die einzelnen Schritt zum nachvollziehen:
[mm] \bruch{3-x}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{x+2}{x-1} [/mm] = [mm] \bruch{6}{x²-1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{(3-x)(x-1) + (x+2)(x+1)}{x²-1} [/mm] = [mm] \bruch{6}{x²-1}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (3-x)(x-1) + (x+2)(x+1) = 6
[mm] \gdw [/mm] 3x - 3 - x² + x + x² + x + 2x + 2 = 6
[mm] \gdw [/mm] 7x -1 = 6
[mm] \gdw [/mm] 7x = 7
[mm] \gdw [/mm] x = 1
Habe ich nun etwas falsch?
Danke
-Christian
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Christian,
deine Rechnung ist im Prinzip ganz richtig, in der Ausgansaufgabe muss aber wohl rechts im Zähler ne 6 statt ner 9 stehen, aber das ist ja aus deiner nachfolgenden Rechnung ersichtlich.
Du hast also $x=1$ rausbekommen.
Schau dir noch mal die Ausgangsbrüche an, dann sollte dir sofort was auffallen.
Die Bruchgleichung ist nämlich für $x=1$ gar nicht definiert, also kann $x=1$ als Lösung auch nicht in Frage kommen.
Nehmen wir mal an, das Teilen durch 0 wäre ok und die Bruchgleichung wäre für $x=1$ definiert.
Dann hast du im ersten Schritt u.a. mit (x-1) = 0 multipliziert, was du nicht tun darfst, da du die Lösungsmenge sonst verändern würdest.
Nimm zB. die Gleichung $2x=4$
Die hat die Lösung $x=2$
Mal angenommen, du würdest die Glcichung $2x=4$ mit 0 multiplizieren, das würde zu der Gleichung $0=0$ die für alle $x$ wahr ist.
Also merke: Multiplikation mit 0 ist gefährlich 
Da nun deine Gleichung für $x=1$ nicht definiert ist und $x=1$ einzige hypothetische Lösung ist, ist die Lösungsmenge leer.
Hoffe, das war nicht zu wirr
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Danke für deine Antwort, aber ich muss sagen, dass ich mich bei "Aufgabe" vertan habe. Es ist nicht [mm] \bruch{9}{x²-1} [/mm] sondern [mm] \bruch{6}{x²-1}, [/mm] so wie ich auch gerechnet hatte. Es tut mir wirklich Leid, dass ich mich dort vertan habe...
Ergibt es denn so einen Sinn?
Danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Blech |
> Danke für deine Antwort, aber ich muss sagen, dass ich mich
> bei "Aufgabe" vertan habe. Es ist nicht [mm]\bruch{9}{x²-1}[/mm]
> sondern [mm]\bruch{6}{x²-1},[/mm] so wie ich auch gerechnet hatte.
> Es tut mir wirklich Leid, dass ich mich dort vertan
> habe...
>
> Ergibt es denn so einen Sinn?
> Danke
Bleibt gleich.
Wenn Du eine Gleichung mit etwas multiplizierst oder durch etwas teilst, dann immer unter der Bedingung "falls der Term nicht 0 ist".
Du hast bei Dir mit [mm]x^2-1[/mm] multipliziert, aber bist dann auf die Lösung x=1 gekommen. Aber die Lösung ist nicht zulässig, weil [mm]1^2-1=0[/mm].
|
|
|
| |
|
Ja, stimmt. Ich würde jetzt sagen "x ist ja eigentlich nicht anderes als 1 * x" aber lassen wir das mal an Rande, da ich öfters irgendetwas sage, was am Ende dann doch richtig gemeint war, aber falsch formuliert.
Also ist an sich, mein Ergebnis richtig? (Ich frage nur aus sicherheit, da ich in Sachen Algebra noch einiges zu lernen habe, und ich es aus euren Antworten leider nicht ersehen kann.)
Vielen Dank
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
wie ich oben schon schrieb, [mm] \underline{kann} [/mm] dein Ergebnis $x=1$ doch gar nicht richtig sein, da für $x=1$ die ganze Sache gar nicht definiert ist.
Was soll denn dann [mm] \frac{6}{x^2-1}=\frac{6}{1^2-1}=\frac{6}{0} [/mm] sein?
Es ist [mm] $\IL=\{\}$ [/mm] also leere Menge, dh. es gibt KEINE Lösung
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:07 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Blech |
[mm]\bruch{(3-x)(x-1) + (x+2)(x+1)}{x²-1} = \bruch{6}{x²-1} \gdw (3-x)(x-1) + (x+2)(x+1) = 6 [/mm]
Diese Äquivalenz, und damit der Rest Deiner Rechnung, gilt nur unter der Bedingung [mm]x \neq \pm 1[/mm].
Dein Ergebnis ist also "x=1 unter der Bedingung [mm] x\neq [/mm] 1". Und das erfüllt kein x.
|
|
|
|
