x^2+2x+1 =0 in Z_7 < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:03 Di 13.12.2011 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | | Finden Sie alle Lösungen der Gleichung [mm] x^2+2x-1=0 [/mm] im Restklassenring [mm] \IZ_{7} [/mm] |
Hallo liebe Gemeinde!
Hier mein Ansatz:
[mm] \IZ_{3} [/mm] hat folgende Restklassen:
(bitte die striche oben dazudenken) 0, 1, 2,3,4,5,6 und deren Äquivalenten RK
jetzt setze ich von 0 bis 6 in die Gleichung ein
0+0-1=-1
1+2-1=2
4+4-1=7
9+6-1=14
16+8-1=23
25+10-1=34
36+12-1=47
es kommt nirgends 0 heraus..
daher keine Lösung??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:08 Di 13.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Finden Sie alle Lösungen der Gleichung [mm]x^2+2x-1=0[/mm] im
> Restklassenring [mm]\IZ_{7}[/mm]
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> Hier mein Ansatz:
>
> [mm]\IZ_{3}[/mm] hat folgende Restklassen:
>
> (bitte die striche oben dazudenken) 0, 1, 2,3,4,5,6 und
> deren Äquivalenten RK
>
> jetzt setze ich von 0 bis 6 in die Gleichung ein
>
> 0+0-1=-1
> 1+2-1=2
> 4+4-1=7
> 9+6-1=14
> 16+8-1=23
> 25+10-1=34
> 36+12-1=47
>
> es kommt nirgends 0 heraus..
Was ist denn 7' in [mm] \IZ_7 [/mm] ? oder 14'....
FRED
>
> daher keine Lösung??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:29 Di 13.12.2011 | | Autor: | elmanuel |
ah .. danke fred ... sind beides RK 0 und somit 2 lösungen!
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Hallo elmanuel,
die Lösungen sind ja schon gefunden.
Du hättest dabei noch etwas Arbeit sparen können:
> Finden Sie alle Lösungen der Gleichung [mm]x^2+2x-1=0[/mm] im
> Restklassenring [mm]\IZ_{7}[/mm]
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> Hier mein Ansatz:
>
> [mm]\IZ_{3}[/mm] hat folgende Restklassen:
Du meintest sicher [mm] \IZ_7. [/mm] 
> (bitte die striche oben dazudenken) 0, 1, 2,3,4,5,6 und
> deren Äquivalenten RK
Man kann die Striche auch schreiben, entweder mit \overline{} oder kürzer mit \bar{}: [mm] \bar{0}, \bar{1}, \bar{2}, \bar{3}, \bar{4}, \bar{5}, \bar{6}.
[/mm]
> jetzt setze ich von 0 bis 6 in die Gleichung ein
Hier kannst Du erstmal [mm] x^2+2x-1=(x+1)^2-2 [/mm] anwenden und x+1=:y setzen.
Dann ist gesucht [mm] y^2\equiv 2\mod{7}.
[/mm]
Das hat ziemlich offensichtlich eine Lösung bei [mm] y\equiv \pm 3\mod{7}.
[/mm]
Da der Modul prim ist, sind dies auch die einzigen Lösungen.
Rücktransformiert auf x heißt das: [mm] x=\bar{2} [/mm] und [mm] x=\bar{3} [/mm] lösen die gegebene Gleichung.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 Di 13.12.2011 | | Autor: | elmanuel |
danke reverend für diesen shortcut! :)
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