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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:20 Mo 01.09.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Für welche reellen Zahlen x konvergiert die folgende Reihe:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{x}{1-x}\right)^n
[/mm]
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ich habe keine Ahnung wie jetzt mein [mm] a_n [/mm] aussieht,
aber habe mal folgendes probiert:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{x}{1-x}\right)^n
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{(1-x)^n}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{x^n}{x^n(\bruch{1}{x}-1)^n}
[/mm]
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{1}{(\bruch{1}{x}-1)^n}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{(\bruch{1}{x}-1)^n}
[/mm]
=0 für x<1
und für x>1 ist [mm] a_n [/mm] alternierend mit 1;-1;1;-1;...
Für x=1 nicht definiert?!
Aber das ist ja nur das notwedige Kriterium gewesen.
Wie wende ich denn jetzt eines der gängigen Verfahren an bzw wie sieht mein [mm] a_n [/mm] aus?
Danke und Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Mo 01.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tedd!
Diese Reihe erinnert doch stark an eine geometrische Reihe [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}q^k$ [/mm] .
Diese konvergiert genau für $|q| \ < \ 1$ .
Du musst hier also die Ungleichung [mm] $\left|\bruch{x}{1-x}\right| [/mm] \ < \ 1$ lösen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mo 01.09.2008 | | Autor: | tedd |
Uhoh....
Beträge sind schon wieder so lange her ![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]")
Also ich schau erstmal nach wann der Betrag negativ wird
[mm] \bruch{x}{1-x} [/mm] ist negativ [mm] \begin{cases} \mbox{für } x<0 \\ \mbox{für } x>1 \end{cases}
[/mm]
und mit [mm] \{x | 0
1.Fall (x<0) :
[mm] -\left(\bruch{x}{1-x}\right)<1
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{-x}{1-x}<1
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -x<1-x
[mm] \to [/mm] keine Lösung?!
2.Fall (x>1) :
[mm] -\left(\bruch{x}{1-x}\right)<1
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{-x}{1-x}<1
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] -x<1-x
[mm] \to [/mm] keine Lösung?!
3.Fall (0<x<1)
[mm] \left(\bruch{x}{1-x}\right)<1
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] x<1-x
[mm] \gdw x<\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \to [/mm] die Reihe konvergiert für [mm] \{x | 0
Hm hoffe die Rechnung die mir eigentlich leichter fallen sollte ist richtig.
Gruß,
tedd
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:22 Di 02.09.2008 | | Autor: | tedd |
> Hallo tedd!
>
>
> ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Warum keine Lösung? Es entsteht doch eine wahre
> Aussage mit [mm]0 \ < \ 1[/mm] .
Stimmt natürlich!
>
> Der Rest sieht gut aus. Wie lautet also die gesamte
> Lösungsmenge?
Hm ich dahcte eigentlich wie ich schon geschrieben habe:
$ [mm] \{x | 0
bzw.
x [mm] \in [0;\bruch{1}{2}]
[/mm]
Oder ist es dann doch x [mm] \in [-\bruch{1}{2};\bruch{1}{2}]
[/mm]
Aber dann wär die Ungleichung nicht erfüllt oder?
>
> Gruß
> Loddar
>
Danke und gruß,
tedd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:32 Di 02.09.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du Loddars Version nimmst, ergibt sich:
|x|<|x-1|
Jetzt mach mal die Fallunterscheidungen:
Fall 1: $ x<0 $
Fall 2: [mm] 0\le{x}<1
[/mm]
Fall 3: [mm] x\ge1
[/mm]
Also:
Fall 1:
$ |x|<|x-1| $
$ [mm] \gdw [/mm] -x<-(x-1) $
Fall 2:
$ |x|<|x-1| $
$ [mm] \gdw [/mm] x<-(x-1) $
Fall 3:
$ |x|<|x-1| $
$ [mm] \gdw [/mm] x<x-1 $
Jetzt überlege mal, welcher der Fälle eine Wahre Lösung ergibt, und dann stelle die Gesamtlösungsmenge als Vereinigung aller "Falllösungen" dar.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Di 02.09.2008 | | Autor: | tedd |
1. Fall x<0 :
-x<-x+1
0<1
2. Fall [mm] 0\le [/mm] x<1
x<-x+1
[mm] x<\bruch{1}{2}
[/mm]
3. Fall [mm] x\ge1
[/mm]
x<x-1
0<-1
[mm] \{x|0\le x<\bruch{1}{2}\}
[/mm]
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Gruß,
tedd
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Di 02.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tedd!
Wie ist denn der Fall $x \ < \ 0$ mit der entsprechenden Lösung zu interpretieren?
Da hier mit $0 \ < \ 1$ eine wahre Aussage entsteht, ist der Bereich $x \ < \ 0$ ebenfalls Bestandteil der Gesamtlösungsmenge.
Tipp: setz' doch mal $x \ = \ -7$ in die Ausgangsungleichung ein.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:11 Di 02.09.2008 | | Autor: | tedd |
Achso,
das war mir nicht bewusst.
Ich dachte, da x "wegfällt" müsste ich x<0 ausschliessen.
Dann ist [mm] x\in(-\infty;\bruch{1}{2}[ [/mm]
Hoffe ist's endlich richtig und das die Schreibweise richtig ist mit der eckigen Klammer da [mm] \bruch{1}{2} [/mm] nicht mehr dazu gehört.
Sorry, dass ich's nicht früher verstanden hab.
Danke und Gruß,
tedd...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:12 Di 02.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tedd!
So ist alles korrekt (auch die Schreibweise)! ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:26 Di 02.09.2008 | | Autor: | tedd |
Danke für die Geduld&Hilfe!
Gruß,
tedd
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