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Huhu,
schaut euch mal bitte folgende Reihe an:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2n + 3}{(2n + 1)^2}
[/mm]
[mm] \bruch{2n + 3}{(2n + 1)^2} [/mm] ist eine Nullfolge, also könnte die Reihe konvergent sein...
Mein Ansatz war jetzt das Quotientenkriterium:
[mm] \bruch{\bruch{2(n + 1) + 3}{[2(n + 1) + 1]^2}}{\bruch{2n + 3}{(2n + 1)^2}}
[/mm]
=
[mm] \bruch{\bruch{2n + 5}{(2n + 3)^n}}{\bruch{2n + 3}{(2n + 1)^2}}
[/mm]
Sowohl der Zähler als auch der Nenner konvergieren gegen 0. Jetzt könnte ich zwei unterschiedliche Schlussfolgerungen daraus ziehen:
1) Da (2n + [mm] 3)^2 [/mm] > (2n + [mm] 1)^2 \Rightarrow [/mm] für den Quotienten q gilt stets: 0 < q < 1 => [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2n + 3}{(2n + 1)^2} [/mm] ist absolut konvergent.
2) Sowohl Zähler als auch Nenner konvergieren gegen 0. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}q [/mm] = [mm] \bruch{0}{0}; [/mm] da Division durch 0 [mm] \Rightarrow [/mm] das Quotientenkriterium ist ungeeignet und das Ergebnis ungültig.
Ich hoffe ihr könnt mir bei meiner Entscheidungsfindung helfen!
Danke,
Martin
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Hallo Martin,
ich habe deine Rechnungen nicht überprüft, aber zur Argumentation.
Für das QK reicht es ja nicht, nur [mm] \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| [/mm] zu berechnen,
sondern vielmehr den [mm] \lim_{n\rightarrow\infty} [/mm] davon.
Wenn Zähler und Nenner also für [mm] n\rightarrow [/mm] gegen 0 streben, ist das QK in der Tat ungeeignet.
Mal als Tipp zur Ermittlung der Konvergenz:
Im Zähler ist n in der ersten Potenz, im Nenner in der zweiten Potenz, das schreit nach Divergenz durch Abschätzung gegen die harmonische Reihe.
Ich würde es so versuchen: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2n + 3}{(2n + 1)^2}\ge\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2n}{(2n + 1)^2} [/mm] Zähler verkleinern verkleinert den Bruch und damit die Summe
[mm] \ge\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{2n}{(3n)^2} [/mm] Nenner vergrößern verkleinert den Bruch und damit die Summe
[mm] =\frac{2}{9}\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n }
[/mm]
Damit wäre Divergenz gezeigt
Gruß
schachuzipus
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