wie wird (z*- z^-1) rein reell < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:33 Mo 18.07.2011 | | Autor: | jooo |
| Aufgabe | | a) Geben Sie die Menge aller komplexen Zahlen z [mm] \not= [/mm] 0 an, für die (z* [mm] -z^{-1}) [/mm] rein reell ist. (z* bezeichnet hier die zu z komplex-konjugierte komplexe Zahl.) |
Habe nun mal folgende Gleichung aufgestellt aber bin mir sehr unsicher! Wie muß ich vorgehen?
Muß ich das in Exponentialform rechnen?
z=a+bi
z*=a-bi
[mm] \bruch{a+bi * a-bi -1}{a-bi}=a
[/mm]
Gruß Jooo
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Hallo jooo,
> a) Geben Sie die Menge aller komplexen Zahlen z [mm]\not=[/mm] 0 an,
> für die (z* [mm]-z^{-1})[/mm] rein reell ist. (z* bezeichnet hier
> die zu z komplex-konjugierte komplexe Zahl.)
> Habe nun mal folgende Gleichung aufgestellt aber bin mir
> sehr unsicher! Wie muß ich vorgehen?
> Muß ich das in Exponentialform rechnen?
> z=a+bi
>
> z*=a-bi
>
> [mm]\bruch{a+bi * a-bi -1}{a-bi}=a[/mm]
Wie kommst du auf diesen Ausdruck?
Es ist doch [mm]\frac{1}{z}=\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}[/mm]
Was ist also [mm]z^{\star}-\frac{1}{z}[/mm] ?
Ordne das nach Real- und Imaginärteil, schreibe es also als [mm]z^{\star}-\frac{1}{z}=\alpha+\beta\cdot{}i[/mm]
Dann folgt mit der Eindeutigkeit von Real- und Imaginärteil: [mm]\beta=0[/mm]
Rechne mal rum ...
>
> Gruß Jooo
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Mo 18.07.2011 | | Autor: | jooo |
>> [mm] \bruch{a+bi \cdot{} a-bi -1}{a-bi}=a
[/mm]
> >
>>
>Wie kommst du auf diesen Ausdruck?
Komme so drauf!:
Z*=a+bi
[mm] Z^{-1}=\bruch{1}{a-bi}
[/mm]
Z* [mm] -Z^{-1}=a+bi-\bruch{1}{a-bi}
[/mm]
Z*-Z{^-1}=a da rein reell
[mm] ->a+bi-\bruch{1}{a-bi}=a
[/mm]
[mm] \bruch{(a+bi) \cdot{} (a-bi )-1}{a-bi}=a [/mm] //da war ein Klammerfehler von mir
Ist da ein Fehler?
Gruß Jooo
>Es ist doch
>Was ist also ?
>Ordne das nach Real- und Imaginärteil, schreibe es also als
>Dann folgt mit der Eindeutigkeit von Real- und Imaginärteil:
>Rechne mal rum ...
Werde ich mal versuchen
>
> Gruß Jooo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:54 Mo 18.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> >> [mm]\bruch{a+bi \cdot{} a-bi -1}{a-bi}=a[/mm]
> > >
> >>
>
> >Wie kommst du auf diesen Ausdruck?
> Komme so drauf!:
> Z*=a+bi
>
> [mm]Z^{-1}=\bruch{1}{a-bi}[/mm]
>
> Z* [mm]-Z^{-1}=a+bi-\bruch{1}{a-bi}[/mm]
>
>
> Z*-Z{^-1}=a da rein reell
> [mm]->a+bi-\bruch{1}{a-bi}=a[/mm]
Wieso bez. Du die rechte Seite ebenfalls mit a ?????
So wird das nichts.
Mach doch das, was schachuzipus Dir gesagt hat.
FRED
> [mm]\bruch{(a+bi) \cdot{} (a-bi )-1}{a-bi}=a[/mm] //da war ein
> Klammerfehler von mir
> Ist da ein Fehler?
>
> Gruß Jooo
>
>
>
>
> >Es ist doch
>
> >Was ist also ?
>
> >Ordne das nach Real- und Imaginärteil, schreibe es also
> als
>
> >Dann folgt mit der Eindeutigkeit von Real- und
> Imaginärteil:
>
> >Rechne mal rum ...
> Werde ich mal versuchen
>
>
> >
> > Gruß Jooo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Mo 18.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Weitere Möglichkeit:
Sei $w:= [mm] \overline{z}-\bruch{1}{z}$. [/mm] Natürlich ist $z [mm] \ne [/mm] 0$
Es ist
(*) [mm] $zw=|z|^2-1\in \IR$
[/mm]
Fall 1: $z [mm] \in \IR$. [/mm] Dann ist [mm] \overline{z}-\bruch{1}{z} \in \IR.
[/mm]
Fall 2: $z [mm] \notin \IR$.
[/mm]
Dann gilt wegen (*) $w [mm] \in \IR \gdw \bruch{|z|^2-1}{z} \in \IR \gdw [/mm] |z|=1$
FRED
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