wie klar das komplanar? < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Di 19.04.2005 | | Autor: | Jen19 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
woher weis ich das zum beispiel diese Vektoren komplanar sind?
(Rechenansatz; alles Richtungsvektoren von zei ebenen)
a(3/0/-1) b(0/1/0) c(1/-2/0) und d(0/-1/)
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Hey
> woher weis ich das zum beispiel diese Vektoren komplanar
> sind?
> (Rechenansatz; alles Richtungsvektoren von zei ebenen)
Also, Vektoren sind genau dann komplanar wenn alle richtungsvektoren in einer Ebene liegen, dass heißt, dass wenn du sie alle mit einem bestimmten faktor multiplizierst und dann addierst müsste es null ergeben.
Den Begriff der Komplanarität kenne ich eigentlich nur im zusammenhang von genau 3 Vektoren, bei mehreren Vektoren spricht man davon dass sie linear Abhängig sind, dass heißt 1. dass [mm] \lambda_1 *\vec{a_1} +\lambda_2 [/mm] * [mm] \vec{a_2} +\lambda_3 [/mm] * [mm] \vec{a_3} [/mm] + [mm] \lambda_4 [/mm] * [mm] \vec{a_4} [/mm] = 0 ist und
2. dass sich mindestens einer dieser Vektoren durch vielfache der anderen darstellen lässt:
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \lambda_1 [/mm] * [mm] \vec{a_1} [/mm] + [mm] \lambda_2 [/mm] * [mm] \vec{a_2} [/mm] + [mm] \lambda_3 [/mm] * [mm] \vec{a_3} [/mm] wobei nicht gelten darf [mm] \lambda_1=lambda_2=Lambda_3=0
[/mm]
dass heißt am besten guckst du jetzt ob sich einer deiner Vektoren durch die drei anderen ausdrücken lässt ohne dass alle vorfaktoren gleich null sind! [mm] \lamda*\vec{a} +\mu *\vec{b} [/mm] + [mm] \nu *\vec{c} [/mm] = [mm] \vec{d}
[/mm]
[mm] \lambda*3 +\mu*0 [/mm] + [mm] \nu*1 [/mm] =0
[mm] \lambda*0 +\mu*1 [/mm] - [mm] \nu*2 [/mm] =-1
[mm] -\lambda*1 [/mm] + [mm] \mu*0 [/mm] + [mm] \nu*0=0
[/mm]
>
> a(3/0/-1) b(0/1/0) c(1/-2/0) und d(0/-1/)
>
nun musst du nur noch die faktoren ausrechnen!
gruß
Christina
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Jen19 |
Tut mir leid, das hab ich immer noch nicht verstanden..
Das komplanar bedeutet, dass die vektoren in einer Ebene liegen hab ich kapiert, aber nicht wie ich das mathematisch beweisen kann...
tut mir leid
jen
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Hi, Jen,
die Antwort von Christina verwendet doch im Grund die Definition von "linear (un-)abhängig".
Allerdings sollte man - wenn es speziell um "Komplanarität" geht, das immer nur für 3 Vektoren beweisen.
Du musst diese Eigenschaft also in 2 Schritten beweisen, nämlich jeweils für drei Vektoren, z.B. für a, b und c und dann für a, b und d.
Ich mach' das übrigens gerne mit Determinanten:
Wenn det(a;b;c) = 0 dann sind a, b und c linear abhängig (komplanar),
wenn auch noch det(a;b;d) = 0, dann sind sogar alle 4 Vektoren komplanar.
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