wesentliche Singularität < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Sei f ganz. Beweisen Sie: Wenn 0 eine wesentliche Singularität für die Funktion g(z)= [mm] f(\bruch{1}{z}) [/mm] auf [mm] \IC [/mm] \ {0} ist, dann ist f kein Polynom. |
So also ich hab mir schon folgendes überlegt:
Das f ganz ist bedeutet ja das f auf ganz [mm] \IC [/mm] holomorph ist, außerdem weiß ich das eine wesentliche Singularität genau dann vorliegt, wenn unendliche viele Glieder der Laurentreihe mit negativem Exponenten nicht verschwinden und eigentlich haben Polynome ja nur Exponenten aus [mm] \IN, [/mm] oder hab ich das falsch in Erinnerung?
Und schließlich bin ich noch auf den großen Satz von Picard gestoßen und auf die Aussage, eine ganze Funktion ist entweder ein Polynom oder sie hat eine wesentliche Singularität in [mm] \infty.
[/mm]
Nur leider weiß ich nich ob ich auf dem richtigen weg bin und wenn ja wie das dann alles in Verbindung bringen kann, damit ich dann auch wirklich einen Beweis für die Aussage in der Aufgabenstellung habe..
Liebe Grüße Bienchen
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
|
|
| |
|
Hallo Bienchen,
ich würde es pauschal mit einer Kontraposition versuchen.
Also: Sei f ganz und ein Polynom, dann hat g(z) = [mm] f(\bruch{1}{z}) [/mm] keine wesentliche Singularität in 0.
Das klingt doch schon viel einfacher und ist Äquivalent zu deinem Problem 
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:06 Mo 06.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Tipp:
Es ist $f(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ [/mm] für jedes z in [mm] \IC
[/mm]
Wie sieht nun wohl die Laurententwicklung von g um den Nullpunkt aus ?
FRED
|
|
|
| |
|
Also ich hab noch ein bisschen weiterüberlegt und bin auf folgendes gekommen:
Also die Laurententwicklung von g um den Nullpunkt ist meiner Meinung nach g(z)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{a_{n}}{z^{n}}
[/mm]
Und dann hab ich überlegt das ich so argumentieren könnte, dass wenn f in [mm] z_{0}=0 [/mm] eine wesentliche Singulärität hat, muss [mm] a_{n} \not= [/mm] 0 für unendlich viele n < 0 (leider haben wir diese letzte Eigenschaft im Skript total unverständlich aufgeschrieben...)
Und daraus folgt dann das f kein Polynom sein kann, da die Eigenschaft nicht erfüllt ist.
Ist das so ok?
Dann müsste ich aber noch, meiner Meinung nach die Rückrichtung zeigen, wobei ich mir bei Fragestellungen meistens nich so sicher bin ob man das in 2 Richtungen zeigen muss, aber na ja ich bin hier davon ausgegangen.
Bei der Rückrichtung hab ich mir gedacht, wäre ein Widerspruchsbeweis vielleicht ein gute Idee, dh ich will zeigen wenn f ein Polynom ist, ist [mm] z_{0}=0 [/mm] keine wesentliche Singularität.
Nur bin ich jetzt auf das Problem gestoßen, das ich zeigen müsste das [mm] z_{0} [/mm] eine hebbare Singulärität UND ein Pol ist! Und das ist zumindest meines Wissens nach, ja nicht möglich... Also ist meine Idee mit dem Widerspruchsbeweis doch nicht so gut?!
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:12 Mi 08.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Also ich hab noch ein bisschen weiterüberlegt und bin auf
> folgendes gekommen:
>
> Also die Laurententwicklung von g um den Nullpunkt ist
> meiner Meinung nach g(z)=
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\bruch{a_{n}}{z^{n}}[/mm]
Genau.
> Und dann hab ich überlegt das ich so argumentieren
> könnte, dass wenn f in [mm]z_{0}=0[/mm] eine wesentliche
> Singulärität hat, muss [mm]a_{n} \not=[/mm] 0 für unendlich viele
> n < 0 (leider haben wir diese letzte Eigenschaft im Skript
> total unverständlich aufgeschrieben...)
Ja.
> Und daraus folgt dann das f kein Polynom sein kann, da die
> Eigenschaft nicht erfüllt ist.
Welche ``Eigenschaft'' meinst du jetzt? Du musst dich schon konkreter ausdruecken.
Prinzipiell: zeig doch lieber die Kontraposition! Also: ist $f$ ein Polynom, so hat $g$ in $0$ keine wesentliche Singularitaet.
> Dann müsste ich aber noch, meiner Meinung nach die
> Rückrichtung zeigen, wobei ich mir bei Fragestellungen
> meistens nich so sicher bin ob man das in 2 Richtungen
> zeigen muss, aber na ja ich bin hier davon ausgegangen.
Guck dir mal genau die Aufgabenstellung an. Da steht ``Wenn $A$, dann $B$'', wobei $A$ und $B$ zwei Aussagen sind. Du musst also zeigen $A [mm] \Rightarrow [/mm] B$. Wieso kommst du jetzt auf die Idee, dass du auch $B [mm] \Rightarrow [/mm] A$ schreiben musst?
> Bei der Rückrichtung hab ich mir gedacht, wäre ein
> Widerspruchsbeweis vielleicht ein gute Idee, dh ich will
> zeigen wenn f ein Polynom ist, ist [mm]z_{0}=0[/mm] keine
> wesentliche Singularität.
Das ist nicht die Rueckrichtung, sondern die Kontraposition. Die Rueckrichtung ist: Ist $f$ kein Polynom, so hat $g$ eine wesentliche Singularitaet. Oder, alternativ (per Kontraposition umgeformt): hat $g$ in $0$ keine wesentliche Singularitaet, so ist $f$ ein Polynom.
> Nur bin ich jetzt auf das Problem gestoßen, das ich zeigen
> müsste das [mm]z_{0}[/mm] eine hebbare Singulärität UND ein Pol
> ist!
Woher hast du das UND? Ich glaube, du hast beim Negieren der Aussage einen Fehler gemacht.
LG Felix
|
|
|
| |
|
Ok also das ich es nicht in 2 Richtungen zeigen muss, ist mir jetzt klar. Aber mit "UND" da dachte ich einfach, wenn ich zeige das [mm] z_{0} [/mm] = 0 keine wesentlich Sungularität ist, wenn f ein Polynom ist, sondern zb ein Pol, dass man daraus dann nich direkt folgern kann das wenn f kein Polynom ist, dass g dann eine wesentliche Singularität in z{0}=0 hat, weil es ja auch noch eine hebbare Singularität sein könnte.
Oder ist das jetzt ganz falsch?
Danke und Liebe Grüße Bienchen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:15 Mi 08.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei f ganz und $g(z) := f(1/z)$ für z [mm] \not= [/mm] 0.
Es gilt :
f(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n [/mm] für jedes z
Also:
g(z) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{a_n}{z^n} [/mm] für z [mm] \not= [/mm] 0
Jetzt brauchst Du nur hinschauen:
g hat in 0 eine wesentliche Singularität [mm] \gdw a_n \not=0 [/mm] für unendlich viele n [mm] \gdw [/mm] f ist kein Polynom
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:40 Mi 08.07.2009 | | Autor: | Bienchen87 |
So hab mir das auch gedacht. Aber Danke jetzt fühl ich mich bestätigt :)
|
|
|
|
