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| Aufgabe | Gegeben ist die lineare Abbildung L:R3->R3 durch
[mm] L(\vektor{1 \\ 0 \\ 2})=\vektor{1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
[mm] L(\vektor{1 \\ 1 \\ 0})=\vektor{1 \\ -3 \\ -1}
[/mm]
[mm] L(\vektor{0 \\ 1 \\ -1})=\vektor{2 \\ 3 \\ 5}
[/mm]
und die Basen:
[mm] A=(\vektor{1 \\ 0 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1})
[/mm]
[mm] B=(\vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 1} [/mm] , [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -1})
[/mm]
Bestimmen Sie:
a) Die Darstellungsmatrix M(A,L,B)
b) Die Basiswechselmatrizen M(E3,id,A) und M(B,id,E3)
c) Die Matrix M(E3,L,E3)
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Die Schreibweise und Ausdrucksweise in der linearen Algebra, kommt mir einfach so spanisch vor, deswegen muss ich hier noch ein paar Fragen stellen.
zu a) ist es ein Unterschied, ob vor dem M(A,L,B) Matrix oder Darstellungsmatrix steht?
bei dieser Abbildung:
[mm] L(\vektor{1 \\ 0 \\ 2})=\vektor{1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
ist doch sowohl der erste Vektor [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] und
[mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] in der Basis E3 gegeben?
Die Lösung von a) sagt mir, das M(A,L,B) die Matrix ist,, die multipliziert mit A L(B) ergibt.
b) M(E3,id,A) ist trivial, hier wird ja die Matrix gesucht, die man mir E3 multiplizieren muss um A zu bekommen und diese ist schlicht A.
M(B,id,E3) ist genau umgekehrt, hier habe ich die Inverse von B ausgerechnet. Ist ja das gleiche Prinzip als würde man die Inverse mit dem Gauß ausrechnen.
c) hier versteh ich überhaupt nichts!
M(E3,L,E3) ( vor diesem Ausdruck steht nur Matrix und nicht Darstellungsmatrix wie bei a), hat das was zu bedeuten?)
Was ist hier denn gesucht?
Soll die Einheitsmatrix multipliziert mit L wieder die Einheitsmatrix ergeben?
dann wäre L ja selbst die Einheitsmatrix. Also ist diese Vermutung schon mal quatsch.
Vielleicht soll man auch die lineare Abbildung L bestimmen, aber dann würde man als Ergebnis auch wieder nur L bekommen.
Bin dankbar für jede Hilfe, wenns geht in obiger Schreibweise, sonst nützt mir das nichts.
Philipp
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> Gegeben ist die lineare Abbildung L:R3->R3 durch
> [mm]L(\vektor{1 \\ 0 \\ 2})=\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> [mm]L(\vektor{1 \\ 1 \\ 0})=\vektor{1 \\ -3 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]L(\vektor{0 \\ 1 \\ -1})=\vektor{2 \\ 3 \\ 5}[/mm]
>
> und die Basen:
>
> [mm]A=(\vektor{1 \\ 0 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 0}[/mm] , [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1})[/mm]
>
>
> [mm]B=(\vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] , [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ -1})[/mm]
>
> Bestimmen Sie:
> a) Die Darstellungsmatrix M(A,L,B)
> b) Die Basiswechselmatrizen M(E3,id,A) und M(B,id,E3)
> c) Die Matrix M(E3,L,E3)
>
>
> Die Schreibweise und Ausdrucksweise in der linearen
> Algebra, kommt mir einfach so spanisch vor, deswegen muss
> ich hier noch ein paar Fragen stellen.
>
> zu a) ist es ein Unterschied, ob vor dem M(A,L,B) Matrix
> oder Darstellungsmatrix steht
Hallo,
das Wort "Darstellungsmatrix" gibt hier demjenigen, der mit Eurer Definition von M(A,L,B) nicht vertraut ist, einen Hinweis darauf, worum es geht.
Sicher habt Ihr irgendwo definiert, daß M(A,L,B) gerade die Matrix ist, die L bzgl der Basen B und A darstellt.
>
> bei dieser Abbildung:
>
> [mm]L(\vektor{1 \\ 0 \\ 2})=\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> ist doch sowohl der erste Vektor [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm] und
> [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm] in der Basis E3 gegeben?
Ja. Es ist Usus, bei Vektoren, die bzgl. der Standardbasen gegeben sind, keinen Index dranzuschreiben.
>
> Die Lösung von a) sagt mir, das M(A,L,B) die Matrix ist,,
> die multipliziert mit A L(B) ergibt.
Was Du hier schreibst, kann ich eigentlich gar nicht verstehen. A und B sind doch Mengen von Vektoren. Was willst Du multiplizieren?
Du suchst hier diejenige Matrix, die, gefüttert mit einem Vektor in Koordinaten bzgl. B, dessen Bild unter der Abbildung L in Koordinaten bzgl A ausspuckt.
Du kannst sie so finden:
In der Aufgabenstellung sind ja die Bilder der Basisvektoren von B unter der Abbildung L angegeben, und zwar in Koordinaten bzgl. der Standardbasis.
Steckst Du diese als Spalten in eine Matrix, so hast Du die Matrix [mm] M(E_3,L,B). [/mm] Was zu tun bleibt, ist die Transformation der Koordinatenvektoren bzg. [mm] E_3 [/mm] in solche bzgl. A.
Die entsprechende Transformationsmatrix kannst Du aufstellen und dann vorne an die Matrix heranmultiplizieren.
Also ist M(A,L,B)=M(A, id, [mm] E_3) M(E_3,L,B)
[/mm]
Die Matrix M(A, id, [mm] E_3) [/mm] ist die Inverse der Matrix [mm] M(E_3, [/mm] id, A), also M(A, id, [mm] E_3) [/mm] =( [mm] M(E_3, [/mm] id, [mm] A))^{-1}.
[/mm]
Die Matrix [mm] M(E_3, [/mm] id, A) ist sehr einfach aufzustellen: einfach dei Basisvektoren von A in eine Matrix stecken.
> b) M(E3,id,A) ist trivial,
Sei bloß vorsichtig mit dem Wort "trivial". Es reizt dazu, Leuten auf den Zahn zu fühlen. Ich rate Dir, es nur zu verwenden, wenn Du das Thema voll unter Kontrolle hast.
Ansonsten: s.o.
> M(B,id,E3) ist genau umgekehrt, hier habe ich die Inverse
> von B ausgerechnet. Ist ja das gleiche Prinzip als würde
> man die Inverse mit dem Gauß ausrechnen.
B ist hier zwar eine Menge von Vektoren, aber ich glaube, daß Du das Richtige meinst.
> c) hier versteh ich überhaupt nichts!
> M(E3,L,E3) ( vor diesem Ausdruck steht nur Matrix und
> nicht Darstellungsmatrix wie bei a), hat das was zu
> bedeuten?)
> Was ist hier denn gesucht?
Geucht ist die darstellende Matrix von L bzgl. der Basis [mm] E_3.
[/mm]
Das ist die Matrix, die in den Spalten die Bilder (bzgl. [mm] E_3) [/mm] der Standardbasisvektoren enthält.
Wenn Du sie nicht zu Fuß berechnest, kannst Du auch folgendes tun:
[mm] M(E3,L,E3)=M(E_3,L,B)M(B,id,E3)
[/mm]
> Soll die Einheitsmatrix multipliziert mit L wieder die
> Einheitsmatrix ergeben?
Nein.
Gruß v. Angela
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