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hallO!!
also wir können nach den ferien einen vortrag zum thema " homogene lineare und inhomogene lineare Differentialgleichungen" halten!
dazu gehört die jeweiligen erklären und jeweils eine anwendung zur homogenen und inhomogen zu bringen!
kann ich mir hier hilfe erhoffen??? also wenn ich nicht genau weiß wie ich etwas erklären soll?!
oder wenn ich beispielaufgaben bzw. anwendungen benötige??
ich erfrage morgen nochmal einzelheiten...
mfg
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Hi, declatereter,
klar kannst Du nachfragen! Ich schau' auf jeden Fall in den nächsten Tagen nochmal rein!
Hier schon mal zwei mögliche Anwendungen (die Du ggf. noch präzisieren, also auf ein spezielles Beispiel anwenden kannst):
(1) homogene DGL 1.Ordnung: "Zerfallsgesetz":
N'(t) = [mm] -\lambda*N(t) [/mm]
(Ich weiß nicht, wie man den "Ableitungspunkt" hier macht, drum N' als Ableitung von N).
Dabei ist N(t) die Anzahl der unzerfallenen Teilchen (z.B. Uran-Atome), [mm] \lambda [/mm] die Zerfallskonstante, t natürlich die Zeit.
(2) inhomogene DGL 1.Ordnung: Gleichung für die Stromstärke J durch eine Spule mit der Induktivität L und dem ohmschen Widerstand R, an die zur Zeit t=0 die Gleichspannung [mm] U_{0} [/mm] angelegt wird:
J'(t) = [mm] -\bruch{R}{L}*J(t) [/mm] + [mm] \bruch{U_{0}}{L}
[/mm]
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hallo!!
also wie schon vorher gesagt, geht es um lineare homogene und inhomogene Differentialgleichungen!
bei dem vortrag soll ich auch erklären, wie man zu der gleichung kommt ( herleitung)!
ich hab mal zur homogenen einen lehrbuchtext eingescannt! die rechnung habe ich verstanden... nur nicht rechts oben den ansatz nicht... wie man auf die gleichung kommt. ich bitte um hilfe!!
mfg
ps: jeweils ein konkretes beispiel (wie zwerglein es gepostet hat, bloß mit zahlen) wäre echt super!! also so wie im eingescannten bild! halt mit zahlen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:42 Sa 14.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
. nur nicht rechts oben
> den ansatz nicht... wie man auf die gleichung kommt. ich
> bitte um hilfe!!
Erst mal musst du verstehen, was eine Äanderungsrate ist. Am einfachsten vielleicht mit Geld. Bei einem Zinssatz von 5% pro Jahr ändert sich dein Kapital von K= 1000 pro Jahr um 50im ersten Jahr,(1050*0,05) im nächsten Jahr usw, K=10000 um 500 etc.
die Änderung pro Zeit: [mm] \bruch{\Delta K}{\Delta t}=0,05*K. [/mm] Wnn du jetzt die Zeitschritte kleiner machst als ein Jahr, kannst du auch ausrechnen wieviel Zinsen du in 1Tag=1/365Jahr bekommst.
Dann musst du die Zeitschritte entsprechend kleiner machen und in der Grenze [mm] \bruch{dK}{dt}=0,05*K
[/mm]
Wenn du ausrechnest, muß du dabei die Zeit in Jahren angeben! ( weil es ja 5%/Jahr sind. oder den Zuwachs pro Tag, oder pro Sekunde.
Entsprechend bei den Baktis: Sie vermehren sich prozentual also aus 1000 werden pro sek 1000*k etc.
Wie beim Geld ist der Zuwachs pro Zeit proportional der vorhandenen Menge. das ist die erste Gleichung.
So, zurück zum Geld: Wenn dein Kapital auch noch durch irgendwas, zBsp. Steuern verringert wird, geht das auch wieder proportional zum Kapital, nur ist das jetzt eine "Abnahme"rate! nehmen wir zusätzlich an, dass die Steuer 0,5%pa beträgt und jedes Jahr um 0,1% steigt.Dann ist die Abnahmerate a von der Zeit abhängig also a(t) und für das Beispiel a(t)=(0,005+0,001*t).
Nur die Steuern gerechnet ergibt die Abnahmerate [mm] \bruch{dA}{dt}=a(t)*K
[/mm]
Insgesamt also [mm] \bruch{dK}{dt}=0,05*K-a(t)*K [/mm] K ausklammern kannst du selbst, und a(t) einsetzen auch!
(für Geld ist das Ganze natürlich eigentlich nicht real, weil die Steuern in Sprüngen und nicht kontinuierlich steigen, aber das Prinzip von "Wachstumsfunktionen" zeigt es doch ganz gut)
. Für a(t) kannst du jetzt natürlich auch andere Funktionen ausdenken!!
Beispiele aus der Physik kann ich dir mehrere schreiben, aber dazu muss ich wissen ob du Oberstufenphysik gemacht hast, sonst kann man sie nicht verstehen. Sollen die DGL alle erster Ordnung sein oder auch 2. Ordnung? also z. Bsp, y''=-k*y.
Bei Zwergleins Beispiel kannst du doch einfach für [mm] \lambda [/mm] was einsetzen, am besten sehr kleine Zahlen, und für N(0) was sehr großes, und dann die "Halbwertszeit ausrechnen, d,h, die Zeit, nach der nur noch die Hälfte da ist!
Gruss leduart
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hallo!
vielen dank für die Herleitung... ich werde sie mir heut noch genauer durchlesen und melde mich morgen nochmal...
also nur 1. ordnung!:)
oberstufenphysik?! also bin im physikgrundkurs, falls das die frage beantwortet.
mfg
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hallo!
ich habe in die gleichung alles eingesetzt und erhalte: dK/dt = (0,05- (0,005+0,001*t))*K
dann hab ich sie durch variablentrennung gelöst und hab dann: K=e^(0,045*t+0,0005*t²+C)
wir hatten es so, dass dann als konstante noch das C dazukommt. hab es noch mit potenzgesezten umgeformt, aber bin mir da nich sicher... K=e^(0,045*t+0,0005*t²) [mm] *e^C [/mm] ist das richtig??
eine frage habe ich noch: wie kommt man bei der ausgangsgleichung dK/dt = (0,05- (0,005+0,001*t))*K auf das "-" (minus) in der klammer.. weil es die abnahmerate ist?
meiner meinugn nach ist die lösung mit dem C doch die allgemeine rivchtig?
wie könnte dann eine beispielaufgabe mit einer speziellen lösung aussehen? müsste ich dann für K und t werte vorgeben?
mfg
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Hallo declatereter,
> ich habe in die gleichung alles eingesetzt und erhalte:
> dK/dt = (0,05- (0,005+0,001*t))*K
> dann hab ich sie durch variablentrennung gelöst und hab
> dann: K=e^(0,045*t+0,0005*t²+C)
> wir hatten es so, dass dann als konstante noch das C
> dazukommt. hab es noch mit potenzgesezten umgeformt, aber
> bin mir da nich sicher... K=e^(0,045*t+0,0005*t²) [mm]*e^C[/mm] ist
> das richtig??
Es muss heißen:
[mm]K\left( t \right)\; = \;C_{1} \;e^{0,045\;t\; - \;0,0005\;t^{2} } [/mm]
mit [mm]C_{1} \; = \;e^{C} [/mm]
> eine frage habe ich noch: wie kommt man bei der
> ausgangsgleichung dK/dt = (0,05- (0,005+0,001*t))*K auf
> das "-" (minus) in der klammer.. weil es die abnahmerate
> ist?
> meiner meinugn nach ist die lösung mit dem C doch die
> allgemeine rivchtig?
Ja, das ist die allgemeine Lösung.
> wie könnte dann eine beispielaufgabe mit einer speziellen
> lösung aussehen? müsste ich dann für K und t werte
> vorgeben?
Richtig. Die Anfangsbedingung lautet dann [mm]K\left( {t_{0} } \right)\; = \;K_{0} [/mm].
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 So 15.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo> hallo!
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> ich habe in die gleichung alles eingesetzt und erhalte:
> dK/dt = (0,05- (0,005+0,001*t))*K
> dann hab ich sie durch variablentrennung gelöst und hab
> dann: K=e^(0,045*t+0,0005*t²+C)
> wir hatten es so, dass dann als konstante noch das C
> dazukommt. hab es noch mit potenzgesezten umgeformt, aber
> bin mir da nich sicher... K=e^(0,045*t+0,0005*t²) [mm]*e^C[/mm] ist
> das richtig??
besser und üblicher [mm] e^{C}=A [/mm] oder C1
> eine frage habe ich noch: wie kommt man bei der
> ausgangsgleichung dK/dt = (0,05- (0,005+0,001*t))*K auf
> das "-" (minus) in der klammer.. weil es die abnahmerate
> ist?
> meiner meinugn nach ist die lösung mit dem C doch die
> allgemeine rivchtig?
> wie könnte dann eine beispielaufgabe mit einer speziellen
> lösung aussehen? müsste ich dann für K und t werte
> vorgeben?
Im Allgemeinen gibt man das Kapital zur Zeit 0 vor als Beispiel K(0)=10000, dann ergibt sich hier [mm] C1=e^{C}=10000
[/mm]
Eine mögliche Frage ist kann sich bei den Steuern das Kapital verdoppeln? in welcher Zeit. (denk dran, die Zeit ist hier in Jahren, bei Physikaufgaben aber fast immer in sek.)
Du kannst aber auch andere Randbedingungen angeben. z.Bsp K = 12000 nach t=4 Jahrekannst du jetzt C1 ausrechnen? Dann kannst du rauskriegen wie gross das Anfangskapital war.
Wie ist es kannst du Physik?
Gruss leduart
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hallo!
ok danke für die hilfe!
ich werde mir morgen dann mal aufgaben ausdenken und hier dann vorstellen, ob die richtig gerechnet sind--> sonst wird es peinlich!:) bis dann und noch schöne pfingsten
mfg
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also ich kann physik. aber nicht alle haben noch physik in meinem LK kurs. daher werd ich eher "neutrale" aufgaben nehmen. aber trotzdem danke
mfg
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hallo!!
ich habe jetzt mir die aufgaben mal ausgerechnet bzw. soweit wie ich gekommen bin..
allgemeine gleichung: $ [mm] K\left( t \right)\; [/mm] = [mm] \;C_{1} \;e^{0,045\;t\; - \;0,0005\;t^{2} } [/mm] $
1. geg: K(0)= 10000 , t=0
hab es in die allgemeine gleichung eingesetzt und für C1 10000 erhalten. nur wenn ich das kapital zur zeit 0 gegeben hab, was ist dann C1?? also ich weiß, dass es die spezielle lösung ist, aber würde gern einen guten antwortsatz haben (und nicht "C1 ist 10000" :) )
2. geg: K(4)=12000 , t=4
hab es wieder in die allgemeine gleichung eingesetzt und für C1 10103 erhalten. was ist das nun genau? doch nicht das anfangskapital?! wie bekomme ich das anfangskapital raus?
3. die aufgabenstellung, ob sich bei den steuern das kapital verdoppeln kann finde ich richtig gut. nur leider hab ich da gar keinen ansatz. nur das wohl irgendwas in der allgemeinen gleichung mal 2 genommen werden muss!:)
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:05 Mo 16.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Guten Morgen Christoph!
> ich habe jetzt mir die aufgaben mal ausgerechnet bzw.
> soweit wie ich gekommen bin..
> allgemeine gleichung: [mm]K\left( t \right)\; = \;C_{1} \;e^{0,045\;t\; - \;0,0005\;t^{2} }[/mm]
> 1. geg: K(0)= 10000 , t=0
>
> hab es in die allgemeine gleichung eingesetzt und für C1
> 10000 erhalten. nur wenn ich das kapital zur zeit 0 gegeben
> hab, was ist dann C1?? also ich weiß, dass es die spezielle
> lösung ist, aber würde gern einen guten antwortsatz haben
> (und nicht "C1 ist 10000" :) )
Möglicher Antwortsatz (Vorschlag):
"Mit der Angabe eines Anfangs- bzw. Randwertes können wir aus der allgemeinen Lösung mit dem Parameter [mm] $C_1$ [/mm] eine spezielle Lösung für unsere Aufgabe ermitteln.
Dabei stellt der Wert für den Parameter [mm] $C_1$ [/mm] in unserem Falle exakt das Anfangskapital [mm] $K_0$ [/mm] (hier: 10.000) dar."
> 2. geg: K(4)=12000 , t=4
>
> hab es wieder in die allgemeine gleichung eingesetzt und
> für C1 10103 erhalten. was ist das nun genau? doch nicht
> das anfangskapital?! wie bekomme ich das anfangskapital
> raus?
Zunächst hast Du -glaub' ich- Leduart etwas mißverstanden. Das ist alternativ zu der obigen Angabe $K(t=0) \ = \ 10.000$ zu verstehen.
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Aufpassen mit Runden: [mm] $C_1 [/mm] \ = \ [mm] 10.10\red{4}$
[/mm]
Was ist denn das Anfangskapital? Das Kapital [mm] $K_0$ [/mm] zum Zeitpunkt $t \ = \ 0$.
Setze also einfach mal $t \ = \ 0$ in die nun ermittelte Gleichung
[mm] $K\left( t \right)\; [/mm] = [mm] \;10.104 [/mm] * [mm] \;e^{0,045\;t\; - \;0,0005\;t^{2}}$
[/mm]
ein. Dieser Wert ist dann das Anfangskapital [mm] $K_0$.
[/mm]
Und, überrascht Dich das Ergebnis?
> 3. die aufgabenstellung, ob sich bei den steuern das
> kapital verdoppeln kann finde ich richtig gut. nur leider
> hab ich da gar keinen ansatz. nur das wohl irgendwas in
> der allgemeinen gleichung mal 2 genommen werden muss!:)
Das ist doch schonmal gar nicht so schlecht ...
Setze doch einfach mal in die Gleichung ein: [mm] $K\left(t_2\right) [/mm] \ = \ [mm] 2*K_0$
[/mm]
[mm]2*K_0\; = \;K_0 * \;e^{0,045\;t_2\; - \;0,0005\;t_2^{2} }[/mm]
Und nun versuche mal nach [mm] $t_2$ [/mm] aufzulösen.
Gruß
Loddar
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hallo!!
ertsmal danke für den antwortsatz!
und bei der zweiten aufgabe kommt bei mir 10.104 für K0 raus.
bei drittens bin ich mir nicht ganz sicher.
hab erstmal folgendes gemacht:
0= -0,0005*t2² + 0,045*t2 - ln2. jetzt durch -0,0005 geteilt, um die normalform der p/q-formel anzuwenden. die eine lösung für t2 = 684 jahre und die andere t2= -594 jahre.
also würde ich sagen, dass die lösung t2= 684 jahre. richtig???
ich melde mich dann morgen wieder, um hier meine fragen zu den inhomogenen gleichungen zu stellen.
vielleicht sind ja schon ideen für übungsaufgaben da?:)
mfg
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Hallo,
> 0= -0,0005*t2² + 0,045*t2 - ln2. jetzt durch -0,0005
> geteilt, um die normalform der p/q-formel anzuwenden. die
> eine lösung für t2 = 684 jahre und die andere t2= -594
> jahre.
> also würde ich sagen, dass die lösung t2= 684 jahre.
> richtig???
leider nicht. Ich habe hier folgendes herausbekommen:
[mm]t_{2_{1/2} } \; = \;45\; \pm \;\sqrt {2025\; - \;2000\;\ln \;2} [/mm]
Das ergibt für [mm]t_{2}[/mm] 19,73 bzw. 70,73 Zeiteinheiten.
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:11 Mi 18.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich hoff, du hast inzwischen die 2 richtigen Ergebnisse ca.20 und ca. 70 Jahre. Dann solltest du die 70 Jahre plausibel erklären können! Denk mal drüber nach. Übrigens verdreifachen kann man sein Vermögen bei der Steuer nicht mehr! auch nachrechnen, das gibt ne nette Auflockerung deines Vortrags. Du solltest nebenbei auch die "Verdopplungs" und Verdreifachungszeit ohne Steuern wissen, btw. schnell ausrechnen können, das macht sich gut
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:54 Mi 18.05.2005 | | Autor: | declatereter |
hallo!!
da es nur die zunahme ist habe ich erstmal: dK/dt=0,05
dann mit variablentrennung komm ich auf K=e^(0,05*t) * C1 (oder [mm] e^c)
[/mm]
jetzt hab ich wieder 2*k0 eingesetzt...
2*k0= k0*e^(0,05*t) jetzt umgestellt und es kommt rund 13,9 jahre raus. diesmal richtig??
ach eine frage noch: wieso muss ich bei der verdopplung für C1 auch k0 einsetzen (hab es hier einfach gemacht und bei der anderen wurde es ja vorgeschlagen).
mfg
ps: mit den inhomogenen melde ich mich morgen!:)
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Hallo,
> da es nur die zunahme ist habe ich erstmal: dK/dt=0,05
> dann mit variablentrennung komm ich auf K=e^(0,05*t) * C1
> (oder [mm]e^c)[/mm]
> jetzt hab ich wieder 2*k0 eingesetzt...
> 2*k0= k0*e^(0,05*t) jetzt umgestellt und es kommt rund
> 13,9 jahre raus. diesmal richtig??
Ja, das stimmt.
Gruß
MathePower
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hallo!!
so dann habe ich erstmal zu den homogenen alles! aber nun noch kurz zu den inhomogenen. ich würde diese gern mit dem lösungsverfahren der Konstantenvariation erklären. da wir das auch schon im unterricht angeschnitten haben... jedoch ist mir die folgende erklärung nicht so recht einleuchtend. es wäre nett, wenn es mir aus anderer sicht bzw. irgendwie ander erklärt werden könnte!:)
[Dateianhang nicht öffentlich]
mfg
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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hi,
hier mal etwas text zu inhomogenen DGK's. hoffe es bringt dich weiter.
wir gehen von linearen DGL's vom typ
y'=p(x)y+r(x)
aus.
diese ist homogen für r(x)=0, sonst inhomogen.
die lösung der homogenen DGL (kennst du sicher schon) ist
[mm] y_{h}(x)=ce^{P(x)}
[/mm]
(P(x) ist stammfunktion von p(x))
die lösung einer inhomegene gleichung setzt sich aus der homogenen und partikularen lösung zusammen
[mm] y(x)=y_{0}(x)+y_{h}(x) [/mm]
die inhomogene gleichung lösen wir mit dem ansatz der variation der konstanten c. dabei machen wir c von x abhänig (c=c(x)) und zwar so, dass die inhomogene gleichung gelöst wird. das machen wir indem wir
[mm] y(x)=c(X)e^{P(x)}
[/mm]
differenzieren und in unsere DGL das so erhaltene ergebniss einsetzen.
die allgem. lsg. ist gegeben durch:
[mm] y(x)=e^{P(x)}(c+ \integral{r(x)e^{-P(x)} dx}
[/mm]
für ein spezielles problem mit der anfangsbedingung [mm] y(x_{0}=y_{0} [/mm] ergibt sich obige gleichung zu
[mm] y(x)=e^{P(x)}(y_{0}e^{-P(x_{0})}+ \integral_{x_{0}}^{x}{r(t)e^{-P(t)} dt}
[/mm]
Beispiel:
y'=y+sinx
p(x)=1
r(x)=sinx
P(x)= [mm] \integral_{p(x)}=x
[/mm]
[mm] y_{0}(x)=e^{x} \integral_{sinxe^{-x} dx}=-1/2(sinx+cosx)
[/mm]
die allgemeine lsg also
[mm] y(x)=ce^{x}-1/2(cosx+sinx)
[/mm]
haben wir noch eine anfangsbedingung z.b. y(0)=1 folgt c zu 3/2 und die bestimmte lösung des problems heißt
[mm] x(x)=3/2e^{x}-1/2(cosx+sinx)
[/mm]
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hallo!!
also ab der folgenden stelle versteh ich das nich mehr so ganz....
das machen wir indem wir
$ [mm] y(x)=c(X)e^{P(x)} [/mm] $ differenzieren und in unsere DGL das so erhaltene ergebniss einsetzen.
--> warum hier ein großes X??? wie differenziere ich die genau oder wo setzt ich welches ergebnis ein?!?
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Fr 20.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
das war nur ein Druckfehler! und du differenzierst einfach mit Produktregel. setz dabei gleich P(X)=k*x, sonst wirds zu unübersichtlich!
Die Variation der Konstanten ist meist recht umständlich, oft kann man eine spezielle Lösung der inhomogenen raten!
z.Bsp y'=-ky+sinx
homogen y'=-ky ==> [mm] y=C*e^{-kx}
[/mm]
dann guckt man hin und denkt y , y' sollten so was wie sinx oder cosx sein und probiert aus:
y=A*sinx+B*cosx y'=a*cosx-B*sinx. in die Dgl. eingesetzt ergibt sich nach umordnen:
sinx*(A+B+1)+cosx*(B-A)
das muss für alle x richtig sen, also B-A=0 und A+B+1=0 daraus A, B bestimmen.
Weiter später, ich geh Abendessen
Gruss leduart
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hallo!!
also wenn noch jemand eine übungsaufgabe zu den inhomogenen linearen gleichungen hätte, wäre mir sehr geholfen und mein vortrag wäre zu 90% fertig gestellt. schon mal danke im voraus...
mfg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Sa 21.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Ich weiss nicht, ob du nur "eingekleidete Aufgaben willst oder irgenswelche.
Nichteingekleidet: y'+0,1*y+sin(3x)=0 ist nicht zu schwer.Einkleidung dafür kann man erfinden!
Eingekleidet: Ein Regentropfen, der in Luft fällt: Durch sein Gewicht wird seine Geschwindigkeit erhöht: die Änderung der Geschwindigkeit v'=konst =g (g=Erdbeschleunigung ca. [mm] 10m/s^{2}) [/mm] Das gilt aber nur, wenn keine Reibung auftritt. Die Reibung bremst, und zwar ist die Reibungskraft (bei kleinen Geschwindigkeiten) proportional der Geschwindigkeit. Für Nichtphysiker ist uninteressant, wie die Konstante bestimmt wird. Also ohne "Antrieb" v'=-k*v. Zusammen, also Antrieb durch Erdanziehung +Bremsen durch Luftreibung ergibt: v' = -k*v+g also eine inhomogene Dgl für v ! (k zwischen 1 und 3)
Statt Regentropfen kannst du einen Fahrradfahrer nehmen, dann statt g die Beschleunigung a, die ein kräftiger (oder schwacher) Fahrer über längere Zeit erreichen kann .a etwa 0,2 bis [mm] 1m/s^2. [/mm] (der zweite Wert sagt, dass er in 10 s von 0 auf 36km/h kommt!) k ca 0,1.
Weitere interessante Dgl gibt es nur zweiten grades also homogen y''+k1*y'+k2*y=0 oder =sin(k3*x)
Dazu gibts auch wieder Einkleidungen
Hilft das?
Gruss leduart
PS. Wir wollen natürlich einen Bericht überdeinen Erfolg!
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hallo!!
ok werd mir die afugaben mal durchrechnen und dann hier die ergebnisse posten! ok???
na sicher mach ich das. werd ihn nächste woche oder anfang übernächste woche halten! das ist ja das mindeste was ich machen kann!:) nochmal vielen danke an alle
mfg
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