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| Aufgabe | Berechnen Sie das Volumen des Körpers zwischen dem Paraboloid z+a [mm] x^{2} [/mm] + b [mm] y^{2} [/mm] = c und
der Ebene z=0 mit a,b,c > 0 |
mein ansatz ist das volumen folgend anzugeben:
[mm] \integral_{?}^{?}{(a x^{2} + b y^{2} -c) dx} [/mm]
könnte man als integrationsgrenzen nach pqformel für x
[mm] \pm \wurzel{(c-b y^{2})/a} [/mm] nehmen ? wie könnte man die aufgabe lösen ,hat jemand vielleicht einen hilfreichen tipp?
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> Berechnen Sie das Volumen des Körpers zwischen dem
> Paraboloid z+a [mm]x^{2}[/mm] + b [mm]y^{2}[/mm] = c und
> der Ebene z=0 mit a,b,c > 0
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> mein ansatz ist das volumen folgend anzugeben:
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> [mm]\integral_{?}^{?}{(a x^{2} + b y^{2} -c) dx}[/mm]
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> könnte man als integrationsgrenzen nach pqformel für x
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> [mm]\pm \wurzel{(c-b y^{2})/a}[/mm] nehmen ? wie könnte man die
> aufgabe lösen ,hat jemand vielleicht einen hilfreichen
> tipp?
Hallo pumpernickel,
es ist bestimmt viel besser, für das gesuchte Volumen
nicht ein Integral mit der Variablen x, sondern eines
mit der Variablen z zu verwenden !
Ferner möchte ich dir sehr empfehlen, dir ein Bild
von der Gestalt des zu berechnenden Volumens zu
machen.
LG , Al-Chwarizmi
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hi ,danke für die aufmerksamkeit. den graphen zu zeichnen ist schwierig online (kann sonst nicht plotten) , auch wegen den unkonkreten a,b,c variablen zu x,y,z . wenn ich z nehme und die grenzen zwischen -c und 0 nehme ,würde dies dann gehen?
[mm] \integral_{-c}^{0}{(a x^{2} + b y^{2} - c) dz} [/mm]
vielleicht so ?
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> hi ,danke für die aufmerksamkeit. den graphen zu zeichnen
> ist schwierig online (kann sonst nicht plotten) , auch
> wegen den unkonkreten a,b,c variablen zu x,y,z . wenn ich
> z nehme und die grenzen zwischen -c und 0 nehme ,würde
> dies dann gehen?
>
> [mm]\integral_{-c}^{0}{(a x^{2} + b y^{2} - c) dz}[/mm]
>
> vielleicht so ?
Nein, so geht das nicht.
Der Körper, um den es hier geht, ist ein Abschnitt
eines elliptischen Paraboloids, der zwischen den
Ebenen z=0 und z=zmax=c liegt. Der ![[]](/images/popup.gif) Zuckerhut in Rio
hat so ungefähr diese Gestalt.
Für die Volumenberechnung würde
ich diesen Ansatz machen:
$\ V\ =\ [mm] \integral_{z=0}^{c} [/mm] Q(z)\ dz$
Dabei ist Q(z) der Flächeninhalt der elliptischen Quer-
schnittsfläche in einer vorgegebenen Höhe z. Da sich
der Flächeninhalt einer Ellipse leicht durch ihre Halb-
achsen darstellen lässt, geht dies hier relativ einfach.
Aber Vorsicht: die Halbachsen der Ellipse, die sich auf
der Höhe z ergibt, sind natürlich vom z-Wert abhängig.
Lass dich nicht dadurch verwirren, dass die Variablen
a und b (die man üblicherweise für die Halbachsen
benützt) hier eine andere Bedeutung haben !
LG , Al-Chw.
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wenn dem so ist,kann es dann sein,dass man da mit sinus/cosinus arbeiten muss? mir fällt nicht ein wie Q(z) aussehen soll
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> wenn dem so ist,kann es dann sein,dass man da mit
> sinus/cosinus arbeiten muss? mir fällt nicht ein wie Q(z)
> aussehen soll
Naja, wenn man die Flächenformel für die Ellipse nicht
kennt oder nicht anwenden darf, kann man sie z.B.
über trigonometrische Darstellung herleiten. Einfacher
scheint mir aber eine Herleitung aus der Affinität zum
Kreis.
Die Schnittkurve auf dem Niveau z hat die Gleichung:
(1) $\ [mm] a*x^2+b*y^2\ [/mm] =\ c-z$
Durch Division durch den Term (c-z) der rechten
Seite kann man die Gleichung auf die Standardform
(2) $\ [mm] \frac{x^2}{A^2}+\frac{y^2}{B^2}\ [/mm] =\ 1$
bringen. Darin sind nun A und B die Halbachsen der
Ellipse. Drücke sie mittels a,b,c und z aus. Die
gefragte Querschnittsfläche Q(z) ist dann einfach:
(3) $\ Q(z)\ =\ [mm] \pi*A*B$
[/mm]
Das ist dann natürlich auch von z abhängig. Wir haben
dann aber den gesuchten Integranden für das Volumen-
integral als einfaches Integral.
Falls du aber unbedingt ein Dreifachintegral aufstellen
sollst, kannst du von der obigen Gleichung (2) ausgehend
eine Parameterdarstellung der Schnittkurve (Ellipse)
machen, welche dann z.B. so daherkommt:
[mm] $\pmat{x(t)\\y(t)}\ [/mm] =\ [mm] \pmat{A*cos(t)\\B*sin(t)}$ [/mm]
LG , Al-Chwarizmi
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hallo al-chwarizmi,
müsste wegen (2) nicht vorausgesetzt werden ,dass die wurzeln [mm] \wurzel{a/(c-z)} [/mm] , [mm] \wurzel{b/(c-z)}existieren?
[/mm]
also wenn ich (3) nehme ,habe ich doch dann [mm] \integral_{0}^{c}{\pi \wurzel{ab/(c-z)} dz} [/mm] = [mm] \pi \wurzel{ab} \integral_{0}^{c}{1/( \wurzel{(c-z)} dz} [/mm] = [mm] \pi [/mm] ab [ln ( [mm] \wurzel{(c-z) } )]_{0}^{c} [/mm] = [mm] \pi [/mm] ab [(ln 0)-(ln [mm] \wurzel{C})] [/mm] schade , ln 0 war ja nicht definiert hmm
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Guten Tag pumpernickel
> hallo al-chwarizmi,
> müsste wegen (2) nicht vorausgesetzt werden ,dass die
> wurzeln [mm]\wurzel{a/(c-z)}[/mm] , [mm]\wurzel{b/(c-z)}existieren?[/mm]
Es ist $\ A\ =\ [mm] \sqrt{\frac{c-z}{a}}$ [/mm] und $\ B\ =\ [mm] \sqrt{\frac{c-z}{b}}$
[/mm]
Diese Wurzeln müssen existieren, und dies ist
auch der Fall, wenn [mm] 0\le{z}\le{c} [/mm] , da $\ a,b,c$ nach
Voraussetzung allesamt positiv sind.
Die Kehrwerte dieser Wurzeln existieren ebenfalls,
solange [mm] 0\le{z}<{c} [/mm] . Den Fall z=c kann man zudem
leicht abhandeln: dann ist nämlich die Schnittellipse
zu einem Punkt, nämlich dem Scheitelpunkt des
Paraboloids, zusammengeschrumpft. Diese "Ellipse"
hat den Flächeninhalt Q(c)=0 . Ihre Gleichung kann
zwar nicht in der Form [mm] $\frac{x^2}{A^2}\ [/mm] +\ [mm] \frac{y^2}{B^2}\ [/mm] =\ 1$
geschrieben werden - aber das macht auch nichts.
Für ihren Flächeninhalt gilt immer noch die Formel
$\ [mm] Q(z)=\pi*A(z)*B(z)\ [/mm] =\ [mm] \frac{\pi}{\sqrt{a*b}}*(c-z)$
[/mm]
wie für die übrigen relevanten z - Werte, nämlich
konkret:
$\ [mm] Q(c)=\pi*A(c)*B(c)\ [/mm] =\ [mm] \frac{\pi}{\sqrt{a*b}}*\underbrace{(z-z)}_0\ [/mm] =\ 0$
> also wenn ich (3) nehme ,habe ich doch dann
> [mm]\integral_{0}^{c}{\pi \wurzel{ab/(c-z)} dz}[/mm] = [mm]\pi \wurzel{ab} \integral_{0}^{c}{1/( \wurzel{(c-z)} dz}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da hast du teilweise Zähler und Nenner vertauscht !
> = [mm]\pi[/mm] ab [ln ( [mm]\wurzel{(c-z) } )]_{0}^{c}[/mm] = [mm]\pi[/mm] ab [(ln
> 0)-(ln [mm]\wurzel{C})][/mm] schade , ln 0 war ja nicht definiert
> hmm
Für die (richtige) Integration braucht man keine
Logarithmen !
LG , Al-Chwarizmi
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![[]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5f/Sugarloaf_mountain_in_Rio_de_Janeiro.jpg/640px-Sugarloaf_mountain_in_Rio_de_Janeiro.jpg){kind=small}
Zuckerhut in Rio