volumen einer Kugel < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:24 So 29.06.2008 | | Autor: | Moiza |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Hallo!
Ich muss aus r²=x²+y² das volumen einer kugel herrleiten.
also mache ich pi* (sqrt(r²-x²))² und mir bleibt
dann bleibt mir r² pi dx - x² pi dx warum wird dann aus
r² pi dx
r² pi [r-(-r)]
siehe http://de.wikipedia.org/wiki/Kugel[/code]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:35 So 29.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Frage hast du doch hier schonmal fast genauso gestellt.
Generell gilt für einen Rotierenden Körper um die x-Achse zwischen den Stellen a und b mit der Begrenzungsfunktion f(x):
[mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}(f(x)²)dx.
[/mm]
In deinem Fall ist
[mm] x²+y²=r^{2}
[/mm]
[mm] \gdw y^{2}=r²-x²
[/mm]
[mm] \gdw y=\wurzel{r²-x²}
[/mm]
Und die Stellen a und b sind hier die Nullstellen von [mm] f_{r}(x)=\wurzel{r²-x²}
[/mm]
Also a=-r und b=+r
Somit ergibt sich das Kugelvolumen:
[mm] V=\pi\cdot{}\integral_{-r}^{r}(\wurzel{r²-x²})^{2}dx
[/mm]
[mm] =\pi\cdot{}\integral_{-r}^{r}r²-x²dx
[/mm]
Jetzt bestimme mal die Stammfunktion [mm] H_{r}(x) [/mm] zu [mm] H_{r}(x)=r²-x²
[/mm]
Dann gilt:
$$ [mm] \pi\cdot{}\integral_{-r}^{r}r²-x²dx [/mm] $$
[mm] =H_{r}(r)-H_{r}(-r)
[/mm]
=...
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 So 29.06.2008 | | Autor: | Moiza |
es ging ums selbe thema!
jetzt würde ich gerne wissen:
dann bleibt mir r² pi dx - x² pi dx warum wird dann aus
r² pi dx
r² pi [r-(-r)]
das in der eckigen klammer verstehe ich nicht wo das her kommt
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:51 So 29.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Moiza!
Da wurde erst integriert und anschließend die beiden Integrationsgrenzen [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -r$ bzw. [mm] $x_2 [/mm] \ = \ +r$ eingesetzt.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 So 29.06.2008 | | Autor: | Moiza |
Danke
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 So 29.06.2008 | | Autor: | Moiza |
blöde frage, aber wie kommen die da hinein?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 So 29.06.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
noch blödere Frage! Was fragst du?
Gruss leduart
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Hi,
um [mm] \integral \wurzel{r^2-x^2} [/mm] dx zu bestimmen, substituiere x=r*sin(t).
Gruß Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Mo 30.06.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Patrick
Woher hast du die Wurzel?
Das Volumen der Kugel berechnet sich mit [mm] V=\pi*\integral_{-r}^{r}r²-x²dx
[/mm]
Marius
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