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| Aufgabe | Beweisen sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n} (2i-1)^2 [/mm] = [mm] \bruch{n(4n^2 - 1)}{3}
[/mm]
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so ich habe dann den induktionsanfang gemacht mit A(1) ..hat natürlich funktioniert...und dann habe ich mit dem Induktionsschritt begonnen....:
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} (2i-1)^2 [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} (2i-1)^2 +(2(n+1)-1)^2
[/mm]
[mm] =\bruch{n(4n^2-1)}{3} [/mm] + [mm] \bruch{n+1 ((4n+1)^2-1)}{3}
[/mm]
so bis hierhin bin ich gekommen....und ich weiß jetzt auch nicht ob das richtig ist...ich glaub danach muss das ja noch zusammengefasst werden...
Könnt ihr mir dabei helfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo mathestudent235,
> Beweisen sie mit vollständiger Induktion, dass für alle n
> [mm]\in \IN[/mm] gilt:
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> [mm]\summe_{i=1}^{n} (2i-1)^2[/mm] = [mm]\bruch{n(4n^2 - 1)}{3}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> so ich habe dann den induktionsanfang gemacht mit A(1)
> ..hat natürlich funktioniert...und dann habe ich mit dem
> Induktionsschritt begonnen....:
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> $\summe_{i=1}^{n+1} (2i-1)^2 = \red{\left(} \ \summe_{i=1}^{n}} \ +(2i-1)^2 \ \red{\right)} +(2(n+1)-1)^2$ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]=\bruch{n(4n^2-1)}{3}[/mm] + [mm]\bruch{n+1 ((4n+1)^2-1)}{3}[/mm]
Hmm, wie kommt der hintere Term zustande?
Man erhält doch erstmal [mm] $=\frac{n(4n^2-1)}{3}+(2n+1)^2$
[/mm]
Da würde ich erstmal hinten erweitern und im ersten Bruch mal an die 3.binomische Formel denken:
[mm] $=\frac{n(2n+1)(2n-1)+3(2n+1)^2}{3}$
[/mm]
Das nun weiter umformen, bis schließlich [mm] $...=\frac{(n+1)(4(n+1)^2-1)}{3}$ [/mm] dasteht.
Vllt. hilft, dass [mm] $4(n+1)^2-1=(2(n+1)+1)(2(n+1)-1)=(2n+3)(2n+1)$ [/mm] ist ...
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> so bis hierhin bin ich gekommen....und ich weiß jetzt auch
> nicht ob das richtig ist...ich glaub danach muss das ja
> noch zusammengefasst werden...
> Könnt ihr mir dabei helfen?
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Gruß
schachuzipus
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>Hmm, wie kommt der hintere Term zustande?
>Man erhält doch erstmal $ [mm] =\frac{n(4n^2-1)}{3}+(2n+1)^2 [/mm] $
hmm, also ich dachte das man in dem Term auch einfach für n n+1 einsetzt und so ist das zustande gekommen....
und wie kommt dann das [mm] (2n+1)^2 [/mm] zustande??
also versuche ich dann gleich den Term "kleiner" zu machen bis dann wieder [mm] \bruch{n(4n^2 - 1)}{3} [/mm] rauskommt?
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Hallo nochmal,
> >Hmm, wie kommt der hintere Term zustande?
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> >Man erhält doch erstmal [mm]=\frac{n(4n^2-1)}{3}+(2n+1)^2[/mm]
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> hmm, also ich dachte das man in dem Term auch einfach für
> n n+1 einsetzt und so ist das zustande gekommen....
> und wie kommt dann das [mm](2n+1)^2[/mm] zustande??
Nun, der Summand in der Summe linkerhand für $i=n+1$ ist doch [mm] $(2i-1)^2=(2(n+1)-1)^2=(2n+2-1)^2=(2n+1)^2$
[/mm]
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> also versuche ich dann gleich den Term "kleiner" zu machen
> bis dann wieder [mm]\bruch{n(4n^2 - 1)}{3}[/mm] rauskommt?
Nein, nicht kleiner machen, du musst das [mm] $(2n+1)^2$ [/mm] erweitern mit 3 und dann umformen, bis nachher am Ende [mm] $\frac{(n+1)(4(n+1)^2-1)}{3}$ [/mm] rauskommt.
Ich mache mal nen Anfang, dann benutze die Tipps in der anderen Antwort:
Es ist [mm] $\sum\limits_{i=1}^{n+1}(2i-1)^2=\left( \ \sum\limits_{i=1}^{n}(2i-1)^2 \ \right) [/mm] \ + \ [mm] (2(n+1)-1)^2$
[/mm]
[mm] $=\frac{n(4n^2-1)}{3} [/mm] \ + \ [mm] \frac{3(2n+1)^2}{3}$ [/mm] nach IV und Erweiterung mit 3
[mm] $=\frac{n(2n+1)(2n-1)+3(2n+1)(2n+1)}{3}$
[/mm]
Nun klammere mal $2n+1$ im Zähler aus und beachte die Hinweise oben und halte dir vor Augen, wohin du mit den Umformungen kommen möchtest ..
LG
schachuzipus
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Dankeschön für die gute Hilfe ....=)
Jetzt hab ichs verstanden.
Lg
mathestudent235
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