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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:36 Di 02.11.2004 | | Autor: | SUNNY000 |
hi leute, hab mich jetzt mit der vollständigen induktion beschäftigt und würde ganz gerne wissen ob meine rechnung richtig ist.
Für a [mm] \in \IR [/mm] \ {1}und alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n}a^i [/mm] = a* [mm] ((a^n-1)/(a-1))
[/mm]
IA Sei n=1
[mm] \summe_{i=1}^{1}= a*((a^1 [/mm] - 1) / (a-1))
= [mm] a^2-1/a-1
[/mm]
wIe ich das hier weiter rechnen soll, weiss ich leider nicht.
IS [mm] \summe_{i=1}^{n+1}= a*((a^{n+1} [/mm] - 1)/(a-1))
KANN mir vielleicht jemand weiter helfen?
Denn irgendwie muss ich das ja durch vollständige induktion beweisen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:52 Di 02.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hiho!
> $ [mm] \summe_{i=1}^{1}= a\cdot{}((a^1 [/mm] $ - 1) / (a-1)) $
Hier hast du dich einfach verrechnet. Es muss heißen: [mm] $\summe_{k=1}^{1}{a}=a\cdot\frac{a-1}{a-1}=a$.
[/mm]
Schaffst du nun den Induktionsschritt?
Viel Erfolg!
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Di 02.11.2004 | | Autor: | SUNNY000 |
ich weiß was du meinst, aber dieses a was ich vergessen habe, spielt doch keine rolle. Ich weiß nicht ob meine rechenschritte beim IS richtig sind und wie ich das am ende beweisen kann.
Gruß Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Di 02.11.2004 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
Die Induktionsverankerung haben wir bereits gefunden. Nun gilt es, den Induktionsschritt zu zeigen. Ich rechne dir mal ein paar Schritte vor:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}{a^k}=\summe_{k=1}^{n}{a^k}+a^{n+1}$.
[/mm]
Nach Induktionsverankerung gilt nun
[mm] $=a\cdot\frac{a^n-1}{a-1}+a^{n+1}$
[/mm]
Nun musst du das a in den Zähler ziehen, diesen Ausmultiplizieren und die beiden Summanden auf gleichen Nenner bringen. Dann musst du lediglich vereinfachen und hast schon das Ergebnis. Versuch's mal.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:26 Di 02.11.2004 | | Autor: | SUNNY000 |
wären denn meine schritte jetzt richtig?
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}a^k= \summe_{i=1}^{n}a^k [/mm] + [mm] a^{n+1}
[/mm]
= a* [mm] a^{n-1} \backslash [/mm] a-1 [mm] +a^n+1
[/mm]
= [mm] a^{n+1} [/mm] - 1 [mm] \backslash [/mm] a-1 + [mm] a^{n+2} [/mm] - [mm] a^{n+1} \backslash [/mm] a-1
= [mm] a^{n+2} [/mm] - 1 [mm] \backslash [/mm] a-1
Wurde das jetzt alles bewiesen? Ich verstehe das nicht. Was habe ich denn jetzt erreicht? Woran kann ich erkennen, dass es richtig ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:54 Do 04.11.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo SUNNY000,
> wären denn meine schritte jetzt richtig?
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}a^k= \summe_{i=1}^{n}a^k[/mm] + [mm]a^{n+1}
[/mm]
>
> = a* [mm]a^{n-1} \backslash[/mm] a-1 [mm]+a^n+1
[/mm]
> = [mm]a^{n+1}[/mm] - 1 [mm]\backslash[/mm] a-1 + [mm]a^{n+2}[/mm] - [mm]a^{n+1} \backslash[/mm]
> a-1
> = [mm]a^{n+2}[/mm] - 1 [mm]\backslash[/mm] a-1
>
> Wurde das jetzt alles bewiesen? Ich verstehe das nicht. Was
> habe ich denn jetzt erreicht? Woran kann ich erkennen, dass
> es richtig ist?
Ich denke, das kann niemand erkennen.
Bitte gebe dir etwas Mühe beim Aufschreiben, dann müssen wir nicht 99% der Zeit, die wir uns mit der Frage beschäftigen allein darauf verwenden, diese erstmal zu entschlüsseln.
Zum Beispiel: Die komschen Backslashes sollen wahrscheinlich Bruchstriche sein.
Aber ist mit der letzten Zeile wirklich [mm] $a^{n+2}- \bruch{1}{a}-1$ [/mm] gemeint?
Bitte schreibe Brüche mit \bruch{a+b}{d+c}, das ergibt dann den Bruch [mm] $\bruch{a+b}{d+c}$.
[/mm]
Bis dann,
Marc
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