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| Aufgabe | a ) Sei A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] . Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: Für n [mm] \in \IN [/mm] gilt: [mm] A^n [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & n & (n²-n) / 2 \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 } [/mm]
b) für n [mm] \in \IN [/mm] sei die reelle n x n - Matrix N = [mm] n_{ij} [/mm] definiert durch [mm] n_{ij} =\begin{cases} 1, & \mbox{für } j-i \mbox{ = 1} \\ 0, & \mbox{für } sonst \mbox{ } \end{cases}. [/mm] Bestimmen Sie [mm] N^k [/mm] für k [mm] \in \IN [/mm] |
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a) Für n = 1 erhalte ich A = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 }. [/mm]
Stimmt!
Für n + 1 erhalte ich A = [mm] \pmat{ 1 & n+1 & ((n+1)²-(n+1)) / 2 \\ 0 & 1 & n+1 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] .
Allerdings weiß ich an dieser Stelle dann nicht mehr weiter.
zu b) Zu dieser Aufgabe fehlt mir bereits der Anfang. Ich weiß nicht so recht wie ich beginnen soll.
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Kontrolliere bitte noch einmal die Aufgabe a. So ist es nämlich keine...
Zur Veranschaulichung von b ein Beispiel. Sei n=5.
Dann ist [mm] A_{(5)}=\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] A*A=\pmat{ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] A*A*A=\pmat{ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Nun kannst Du schon vorausahnen, was [mm] A^5 [/mm] ist, jedenfalls für dieses Beispiel n=5.
![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]")
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a) Sei A = 1 1 0
0 1 1
0 0 1
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: Für n e N gilt:
An = 1 n (n²−n)/2)
0 1 n
0 0 1
So lautet die Aufgabenstellung. Was genau meinst du?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:55 Mo 10.11.2008 | | Autor: | reverend |
Da ist keine Aufgabe, kein Zusammenhang. Netterweise ergibt sich das gegebene A immerhin für n=1. Sonst ist keine Aussage zu treffen.
Es fehlt wahrscheinlich eine Darstellung von [mm] A_n [/mm] als Funktion aller oder zumindestens einer vorhergehenden Matrix der Folge, z.B. [mm] A_n=f(A_{n-1})
[/mm]
So, wie die Aufgabe dasteht, hat sie keinen Gehalt. Vergleichbar wäre:
Sei x=5
Zeige mittels der Kristallkugel, dass [mm] x_n=14231875-9637n^2-2798191n+\bruch{5}{n}
[/mm]
Auch diese Gleichung ist für n=1 erfüllt (sofern überhaupt gilt [mm] x=x_1), [/mm] aber es gibt keinen Anlass sie zu beweisen. Erst wenn eine dritte Beziehung hinzuträte, könnte und müsste vielleicht gezeigt werden, dass sie die beiden Gleichungen sinnvoll miteinander verbindet.
Deine "Aufgabe" tut das nicht, ihr fehlt eine wesentliche Information, und so kannst und darfst Du sie getrost unbearbeitet lassen. Etwas anderes bleibt Dir, aus mathematischer Sicht, allerdings auch kaum übrig.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Di 11.11.2008 | | Autor: | Dannni |
Ich denke dass, du meinst, dass für Aufgabe a) Das A ein A hoch n sein soll! Dann kannst du sehr wohl vollständige induktion anwenden... Also die Matrix wird n-mal miteinander multipliziert... vielleicht hilft dir das weiter!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:49 Di 11.11.2008 | | Autor: | reverend |
gute Idee!
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