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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Do 24.05.2007 | | Autor: | Huntsman |
| Aufgabe | Wenden Sie die vollständige Induktion auf folgende Aufgabe an:
[mm] (1+\bruch{1}{n+1}) [/mm] * [mm] (1+\bruch{1}{n+2}) [/mm] * [mm] (1+\bruch{1}{n+3}) *...*(1+\bruch{1}{n+n}) [/mm] = [mm] 2-\bruch{1}{n+1} [/mm] = [mm] \produkt_{k=1}^{n} (1+\bruch{1}{n+k}) [/mm] |
Hab zwar eine Lösung für diese Aufgabe gefunden:
http://www.emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf (S.33)
Die verstehe ich aber nicht so ganz. Kann man diese auch Aufgabe ohne die Produktzeichen lösen? Das würde alles einfacher machen.
Danke schon mal im Vorraus.
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Hallo Huntsman,
> Kann man diese auch
> Aufgabe ohne die Produktzeichen lösen? Das würde alles
> einfacher machen.
Das Produktzeichen ist doch bloß eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt. Die Benutzung des Produktzeichens soll deswegen eigentlich "alles einfacher machen" (und nicht umgekehrt).
Beispiel 1: [mm]\textstyle\prod_{k=1}^3{k} = 1\cdot{2\cdot{3}} = 6[/mm]
Beispiel 2: [mm]\textstyle\prod_{k=1}^3{2} = 2\cdot{2\cdot{2}} = 2^3 = 8[/mm]
Und was deine Induktion angeht, so nutzen sie im Prinzip das Assoziativgesetz der Multiplikation (zusammen mit der Induktionsvoraussetzung) aus; Also so ähnlich wie im folgenden Beispiel:
[mm]\prod_{k=1}^3{2} = \left(\prod_{k=1}^2{2}\right)\cdot{2} = (2\cdot{2})\cdot{2}=4\cdot{2} = 8.[/mm]
Ist es jetzt etwas klarer geworden?
Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:57 Fr 25.05.2007 | | Autor: | Huntsman |
Ok, danke, dass macht einiges hilfreicher.
Kannst du nochmal auf den Link und der Seite gucken? WAs ich nicht verstehe ist, wie sich die Grenzwerte bei dem Produktzeichen vom ersten bis zum dritten Schritt ändern. Damit ändert sich ja auch die Rechunung, die nach dem Produktzeichen kommt, aber ich verstehe nicht inwiefern sie sich ändern. Könntest du das nochmal erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Fr 25.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Hier kommen gar keine Grenzwerte vor, meinst du die untere und obere Produktgrenze?
ich schreibs mit Pünktchen.
n01 ist klar.
Indvors:
[mm] (1+\bruch{1}{n+1})*(1+\bruch{1}{n+2})*...*(1+\bruch{1}{n+n})=2-\bruch{1}{n+1}
[/mm]
Beh. gilt auch für n+1, also
[mm] (1+\bruch{1}{n+1+1}*(1+\bruch{1}{n+2+1}*...(1+\bruch{1}{n+1+n})*(1+\bruch{1}{n+1+n+1})
[/mm]
indiesem Produkt fehlt gegenüber der Indvors. das Glied [mm] (1+\bruch{1}{n+1}) [/mm] und die 2 letzten Glieder kommen dazu.
es ist also das Produkt erst von k= 2 an , dann bis n+1 und noch ein Faktor.
deshalb das Ergebnis der Indvors [mm] (2-\bruch{1}{n+1}):(1+\bruch{1}{n+1})*(1+\bruch{1}{n+1+n})*(1+\bruch{1}{n+1+n+1})
[/mm]
so jetzt alle Klammern in echte Brüche verwandeln, dann kürzen und du bist fast fertig.
Wenn du wieder mal mit Summen oder Produktzeichen nich zurecht kommst, schreib sie mit Pünktchen um, dann lernst du dich daran zu gewöhnen.
sprachlich sagst du einfach : das Produkt fängt mit...an und hört mit ..auf, statt einfach k=1 bis n oder n+1 zu sagen!
Gruss leduart.
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