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| Aufgabe | [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k³ = [mm] \bruch{n²(n+1)²}{4}
[/mm]
n [mm] \in \IN [/mm] |
Den Induktionsanfang beginne ich also mit n = 1, um zu zeigen, dass A (n) für irgendein n gilt.
Dann setze ich für n = (n+1) ein, um zu zeigen, dass es auch für alle anderen Zahlen gilt. Oder?
Also habe ich dann
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] k³ = [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k³ + (n+1)³
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] k³ + (n+1)³ = [mm] \bruch{(n+1)²((n+1)+1)²}{4}
[/mm]
Dann setze ich für k = [mm] \bruch{n²(n+1)²}{4} [/mm] ein, oder?
hätte dann also:
( [mm] \bruch{n²(n+1)²}{4} [/mm] )³ + (n+1)³ = [mm] \bruch{(n+1)²(n+2)²}{4}
[/mm]
die ³ kürzen sich dann weg, oder?
Also die Aufgabe hab ich im Endeffekt somit richtig gelöst. Aber ich bin mir nicht sicher, ob man wirklich den rechten Teil also hier [mm] \bruch{n²(n+1)²}{4} [/mm] für k einsetzt, oder ob das anders funktioniert?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Do 07.11.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo strawberryjaim
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k³ = [mm]\bruch{n²(n+1)²}{4}[/mm]
> n [mm]\in \IN[/mm]
> Den Induktionsanfang beginne ich also mit n =
> 1, um zu zeigen, dass A (n) für irgendein n gilt.
>
> Dann setze ich für n = (n+1) ein, um zu zeigen, dass es
> auch für alle anderen Zahlen gilt. Oder?
schlecht formuliert, du zeigst, dass wenn die formel für n richtig ist, dann auch für n+1
> Also habe ich dann
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] k³ = [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k³ + (n+1)³
(bitte benutze nicht das hoch 2 und hoch 3 er Tastatur, das ist dann in formeln nicht zu sehen!
> [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k³ + (n+1)³ =
[mm]\bruch{(n+1)^2((n+1)+1)^2}{4}[/mm]
statt
> [mm]\bruch{(n+1)²((n+1)+1)²}{4}[/mm]
> Dann setze ich für k = [mm]\bruch{n²(n+1)²}{4}[/mm] ein, oder?
> hätte dann also:
Nein du setzt die Indvors
[mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] k³ = [mm]\bruch{n²(n+1)²}{4}[/mm]
ein und hast dann
[mm]\bruch{n^2(n+1)^2}{4}+(n+1)^2[/mm]
Und musst jetzt zeigen, dass das [mm] =\bruch{(n+1)^2*(n+2)^2}{4} [/mm] ist.
>
> ( [mm]\bruch{n²(n+1)²}{4}[/mm] )³ + (n+1)³ =
> [mm]\bruch{(n+1)²(n+2)²}{4}[/mm]
dies hoch 3 sind falsch
> die ³ kürzen sich dann weg, oder?
wie sollten die sich kürzen? aber da ist ja sowieso was falsch.
>
> Also die Aufgabe hab ich im Endeffekt somit richtig
> gelöst.
leider noch nicht.
> Aber ich bin mir nicht sicher, ob man wirklich den
> rechten Teil also hier [mm]\bruch{n²(n+1)²}{4}[/mm] für k
> einsetzt, oder ob das anders funktioniert?
siehe oben, und du musst noch rechnen (um die Behauptung zu zeigen!
Gruss leduart
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Entschuldigung, aber was sind Indvors? Und warum muss ich dann das ganze quadrieren auf der rechten Seite?
Danke :)
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Hallo,
> Entschuldigung, aber was sind Indvors?
Na, was kann das im Dunstkreis der "Vollständigen Induktion" wohl bedeuten?
"Induktionsvoraussetzung" natürlich ...
> Und warum muss ich
> dann das ganze quadrieren auf der rechten Seite?
?? Die Aussage lautet doch: Für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt:
[mm]\sum\limits_{k=1}^nk^3 \ = \ \frac{n^2(n+1)^2}{4}[/mm]
Den Induktionsanfang, also die Gültigkeit der Aussage für [mm]n=1[/mm] rechnest du direkt nach.
Dann im Induktionsschritt [mm]n\to n+1[/mm] nimmst du an, dass die Aussage für ein beliebiges, aber festes [mm]n\in\IN[/mm] gelte (IV) und musst zeigen, dass die Beh. dann auch gefälligst für [mm]n+1[/mm] gilt.
Du nimmst also an, dass für irgendein beliebiges, aber festes [mm]n\in\IN[/mm] gilt:
[mm]\red{\sum\limits_{k=1}^nk^3 \ = \ \frac{n^2(n+1)^2}{4}}[/mm] (IV)
Dann musst du zeigen, dass - unter dieser Induktionsvoraussetzung - gefälligst auch gilt:
[mm]\blue{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3} \ = \ \green{\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}}[/mm] gilt
Um diese Gleichheit zu zeigen, nimmst du die linke Seite her, formst um, wie du es schon getan hast, und wendest die (IV) an:
[mm]\blue{\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^3} \ = \ \red{\left( \ \sum\limits_{k=1}^nk^3 \ \right)} \ + \ (n+1)^3[/mm]
Auf den roten Teil kannst du nun die (IV) anwenden, das ist
[mm]=\red{\frac{n^2(n+1)^2}{4}} \ + \ (n+1)^3[/mm]
Das gilt es nun mittels Bruchrechnung soweit umzuformen, bis am Ende die rechte Seite der zu zeigenden Gleichung dasteht, also
[mm]\ldots{} \ = \ \green{\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}}[/mm]
Das machst du aber jetzt zuende ...
Ist das Prinzip der Vollst. Induktion nun klarer?
>
> Danke :)
Gruß
schachuzipus
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