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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Random |
| Aufgabe | | Zeigen Sie durch folständige Induktion, dass [mm] n^{3}+5n [/mm] für alle [mm] n\inN [/mm] durch 6 teilnar ist. |
Also Induktionsschirtt 1: Ist ja einfach A(1)
[mm] \bruch{1^{3}+5*1}{6}=1 [/mm]
Somit gilt A(n)
Jetzt gilt A(n+1) zu beweisen: Dafür wird n+1 eingesetzt.
[mm] \bruch{(n+1)^{3}+5(n+1)}{6}
[/mm]
Meine Frage ist: Womit muss ich das gleichsetzen. Ich mein, ich muss ja nachweisen, dass es gleich irgendwas ist und normalerweise hatte ich immer irgendwas, aber in dem Fall hab ich keine Ahnung.
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe,
Ilya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:18 Mo 01.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast j die Ind. Vors [mm] n^3+5n [/mm] ist durch 6 Teilbar, wenn du den Ausdruck für n+1 so hinschreiben kannst, dass da steht [mm] n^3+5n+Rest [/mm] und der Rest auch durch 6 Teilbar ist, bist du fertig, Den Rest kannst du durch Argumente als durch 6 tb erkennen, oder wieder mit Induktion . durch 6 tb heisst durch 3 und durch 2 tb.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Random |
Ich komme durch die Polynomdivision auf den Ausdruck: [mm] n^3+4n+12 [/mm] und den Rest 18
Ist Polynomdivision hier falsch?
[mm] (n^{3}+3n^{2}+8n+6)/6 [/mm] kommt durch ausmultipliezieren raus.
Wie kann ich vorgehen um den richtigen ausdruck zu kriegen?
Vielen Dank im Voraus und mit freundlichen Grüßen,
Ilya
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:05 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ilya!
Welche Polynomdivision willst Du denn hier ausführen?
Wie lautet denn der Ausdruck [mm] $(n+1)^3+5*(n+1)$ [/mm] im ausmultiplizierten Zustand?
Schreibe [mm] $n^3+5*n$ [/mm] etwas beiseite und betrachte dann den Rest.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Random |
Den AUsdruck im aus multiplieziertem Zustand habe ich schon vorin gepostet:
[mm] \bruch{n^{3}+3n^{2}+8n+6}{6}
[/mm]
Nun hatte ich oben wie vorhin gesagt Polynomdivison angewendet.
Ich weiss nicht wie der Ausdruck
[mm] \bruch{n^{3}+3n^{2}+8n+6}{6}
[/mm]
mit dem
[mm] \bruch{n^{3}+5n}{6}
[/mm]
in Verbindung zu bringen ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:29 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Sierra |
Hallo,
die Polynomdivision war überflüssig, genau wie der Bruch durch 6.
Richtig ausmultipliziert hast du doch schon:
[mm] n^{3} [/mm] + [mm] 3n^{2} [/mm] + 8n +6 = [mm] n^{3} [/mm] + 5n + [mm] 3n^{2} [/mm] + 3n + 6
Nun zeige, dass der Rest auch durch 6 teilbar ist.
Gruß Sierra
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Random |
Welcehr Rest?
Haben SIe nicht gerade einfach 2 absolut gleiche Ausdrücke hingeschrieben, nur der eine vereinfacht (zusammengefasst) und der andere nicht.
Wie zeige ich das denn?
Einfach eine Zahl einsetzen kann ich ja nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ilya!
Von [mm] $n^3+5*n$ [/mm] wissen wir gemäß Induktionsvoraussetzung, dass dieser Term durch 6 teilbar ist.
Betrachte und untersuche nun den Rest [mm] $3*n^2+3*n+6$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Random |
Okay jetzt weiss ich auch, wo der Rest herkommt xD
[mm] n^{3}+3n^{2}+8n+6 [/mm]
Wenn man davon den schon vorhandenen Ausdruck [mm] (n^{3}+5n [/mm] abzieht, kommt man auf den Rest:
[mm] 3n^{2}+3n+6 [/mm] und dieser ist eindeutig durch 6 teilbar.
Aber wie zeige ich das...
Ich meine ich könnte jetzt eine 1 einsetzen, aber das ist wohl kein ausreichender Beweis, oder?
Gruß Ilya
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Hallo Ilya,
> Okay jetzt weiss ich auch, wo der Rest herkommt xD
Prima. Dann kanns ja endlich losgehen. 
> [mm]n^{3}+3n^{2}+8n+6[/mm]
>
> Wenn man davon den schon vorhandenen Ausdruck [mm](n^{3}+5n[/mm]
> abzieht, kommt man auf den Rest:
Jawollja.
> [mm]3n^{2}+3n+6[/mm] und dieser ist eindeutig durch 6 teilbar.
Wieso ist das denn so eindeutig?
> Aber wie zeige ich das...
>
> Ich meine ich könnte jetzt eine 1 einsetzen, aber das ist
> wohl kein ausreichender Beweis, oder?
Nein, gewiss nicht.
Wenn [mm] 3n^2+3n+6 [/mm] durch 6 teilbar ist, dann ist es [mm] 3n^2+3n [/mm] auch. Weiter ist dann [mm] n^2+n [/mm] durch 2 teilbar (siehe leduarts Hinweis). Und das ist doch leicht zu zeigen.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Mo 01.11.2010 | | Autor: | Random |
Danke sehr!!!
Also ich kann [mm] 3n^{2}+3n+6 [/mm] ja mit 2 multipliezieren und dadurch den Ausdruck [mm] 6n^{2}+6n+12
[/mm]
12 ist durch 6 teilbar und 6 auch.
Somit bleibt nur noch [mm] n^{2}+n [/mm]
Wie zeig ich, dass der Ausdruck teilbar ist O.o.
Ich weiss, dass man ihn wie Lothar sagte durch 2 teilen kann ( wenn man 1 einsetzt, oder durch 6 wenn man 2 einsetzt, aber wie bring ich das in die Schreibform? Also wie drücke ich das aus?
Einfach so in den Raum stellen?
[mm] "n^{2}+n [/mm] ist ebenfalls durch 6 teilbar." ?
Danke nochmal im Voraus!!!
Ilya
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Aber nicht doch.
Hallo Ilya,
> Also ich kann [mm]3n^{2}+3n+6[/mm] ja mit 2 multipliezieren
Kannst Du schon, darfst Du aber nicht! Wenn Du jetzt auch noch mit 47 multiplizierst, wird das Produkt auch durch 47 teilbar sein, aber diesbezüglich keine Aussage mehr liefern können, was die Zerlegung des ursprünglichen Terms angeht.
> und dadurch den Ausdruck [mm]6n^{2}+6n+12[/mm]
>
> 12 ist durch 6 teilbar und 6 auch.
Ja, wohl wahr. Aber eben nicht mehr aussagekräftig, weil Du mit 2 multipliziert hast. Der Weg geht andersherum, siehe mein letzter Post: Du kannst durch 3 teilen und musst dann nur noch zeigen, dass das Ergebnis (also [mm] n^2+n+2 [/mm] ) durch 6/3 teilbar ist, also durch 2. Oder in der Alltagssprache der Mathematik: zeige, dass [mm] n^2+n+2 [/mm] gerade ist.
> Somit bleibt nur noch [mm]n^{2}+n[/mm]
Stimmt. Die 2 aus dem letzten Absatz ändert ja in beiden Fällen (gerade/ungerade) nichts.
> Wie zeig ich, dass der Ausdruck teilbar ist O.o.
Siehe unten.
> Ich weiss, dass man ihn wie Lothar sagte durch 2 teilen
> kann ( wenn man 1 einsetzt, oder durch 6 wenn man 2
> einsetzt, aber wie bring ich das in die Schreibform? Also
> wie drücke ich das aus?
>
> Einfach so in den Raum stellen?
In keinem Fall, es sei denn, es ist auch für Menschen mit ![[]](/images/popup.gif) Dyskalkulie eklatant offensichtlich.
> [mm] n^{2}+n [/mm] ist ebenfalls durch 6 teilbar. ?
Das ist nicht die Frage und nebenbei auch falsch. Setz mal n=4 ein.
Zu zeigen ist, dass [mm] n^2+n [/mm] gerade ist. Dazu müsste man mal ein beliebiges gerades n=2k untersuchen, sowie ein beliebiges ungerades n=2k-1.
Aber erstmal ist wichtig, dass Du verstehst, wieso eigentlich nur noch zu zeigen ist, dass [mm] n^2+n [/mm] immer gerade ist, und wo die 6 geblieben ist, um die es doch eigentlich ging.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Di 02.11.2010 | | Autor: | Random |
Hmm ich glaube ich verstehe das nicht xDxDxD
Also da wir ja durch 3 geteilt haben muss der Ausdruck der übrig bleibt nur noch durch 2 teilbar sein damit auch gilt, dass das ganze durch 6 teilbar ist.
Welcher Ausdruch ist in der Regel durch 2 teilbar?
Natürlich jeder Ausdruck der gerade ist.
Deswegen muss ich auch zeigen, dass [mm] n^{2}+n [/mm] gerade ist.
Ich hoffe so ist das richtig.
Nun verstehe ich trotzdem nicht wie ich das zeigen kann. Das mit dem 2k und 2k-1.
Also ich setze das für n ein und bekomme [mm] 2k^{2}+2k [/mm] und [mm] 2k-1^{2}+2k-1
[/mm]
Ich weiss nicht wieso das ein Beweis für gerade oder ungerade sein soll.
Vielen Dank nochmal im Voraus!!!
Ilya
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Hallo Random,
da fehlen nur ein paar Klammern. Dann hast Du die Lösung.
> Hmm ich glaube ich verstehe das nicht xDxDxD
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> Also da wir ja durch 3 geteilt haben muss der Ausdruck der
> übrig bleibt nur noch durch 2 teilbar sein damit auch
> gilt, dass das ganze durch 6 teilbar ist.
Ja, so ist es.
> Welcher Ausdruch ist in der Regel durch 2 teilbar?
>
> Natürlich jeder Ausdruck der gerade ist.
Genau. So ist das Wort "gerade" definiert.
> Deswegen muss ich auch zeigen, dass [mm]n^{2}+n[/mm] gerade ist.
>
>
> Ich hoffe so ist das richtig.
Ja, bis hierhin stimmt es.
> Nun verstehe ich trotzdem nicht wie ich das zeigen kann.
> Das mit dem 2k und 2k-1.
>
> Also ich setze das für n ein und bekomme [mm]2k^{2}+2k[/mm] und
> [mm]2k-1^{2}+2k-1[/mm]
Hier fehlen die Klammern. Du bekommst [mm] (2k)^2+2k [/mm] und [mm] (2k-1)^2+(2k-1), [/mm] wobei die letzten Klammern auch verzichtbar wären. Die andern, bei den Quadraten, sind aber unbedingt nötig.
> Ich weiss nicht wieso das ein Beweis für gerade oder
> ungerade sein soll.
Na, schauen wir mal nach:
1) $ n=2k\ [mm] \Rightarrow (2k)^2+2k=4k^2+2k=2(2k^2+k) [/mm] $ muss gerade sein. Das stimmt, da es den Faktor 2 enthält.
2) $ n=2k-1\ [mm] \Rightarrow (2k-1)^2+(2k-1)=4k^2-4k+1+2k-1=4k^2-2k=2(2k^2-k) [/mm] $ muss gerade sein. Das stimmt, da es den Faktor 2 enthält.
Du machst also eine Fallunterscheidung. Es gibt zwei Fälle, n gerade und n ungerade. Und in beiden Fällen ist [mm] n^2+n [/mm] gerade. Das ist alles, was noch zu zeigen war.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:43 Di 02.11.2010 | | Autor: | Random |
Danke ich habe es jetzt endlich verstanden und vervollständigt!
Also das mit den Klammern wusste ich, nur habe mich beieilt und sie weggelassen. Sorry ich weiss, dass es den ganzen Sinn natürlich vernichtet! xD
Vielen Dank nochmal für eure Hilfe!!!
Grus Ilya
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Um weiter zu kommen musst du auf jeden Fall die Klammer [mm] (n+1)^3 [/mm] ausrechnen.
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