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| Aufgabe | Beweisen Sie für alle natürlichen Zahlen n:
[mm] sin x + sin 2x + ... + sin nx = \bruch{sin \bruch{(n+1)x}{2}}{sin \bruch{x}{2}} sin \bruch{nx}{2} ,x \not= 2k\pi , k\in\IZ [/mm] |
Hi! hier erstmal alles was ich bis jetzt hab...
I.A. n=1
[mm]
sin 1x = \bruch{sin \bruch{2x}{2}}{sin \bruch{x}{2}} sin \bruch{x}{2}
[/mm]
[mm]
sin x = sin x
[/mm]
I.V. Aufg.
I.B. n [mm] \mapsto [/mm] n+1
[mm]
sin x + sin 2x + ... + sin nx + sin (n+1)x = \bruch{sin \bruch{( n+2)x}{2}}{sin \bruch{x}{2}} sin \bruch{( n+1)x}{2}
[/mm]
I.S.
[mm]
\bruch{sin \bruch{( n+2)x}{2}}{sin \bruch{x}{2}} sin \bruch{( n+1)x}{2} = \bruch{sin \bruch{(n+1)x}{2}}{sin \bruch{x}{2}} sin \bruch{nx}{2} + sin (n+1)x
[/mm]
rechte Seite:
[mm]
=\bruch{sin \bruch{(n+1)x}{2} * sin \bruch{nx}{2} + sin \bruch{x}{2} * sin \bruch{(n+1)}{x}}{sin \bruch{x}{2}}
[/mm]
... und nun steh ich auf dem Schlauch, hat jmd eine Idee?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Mo 26.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie für alle natürlichen Zahlen n:
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> [mm]sin x + sin 2x + ... + sin nx = \bruch{sin \bruch{(n+1)x}{2}}{sin \bruch{x}{2}} sin \bruch{nx}{2} ,x \not= 2k\pi , k\in\IZ[/mm]
>
> Hi! hier erstmal alles was ich bis jetzt hab...
>
> I.A. n=1
> [mm]
sin 1x = \bruch{sin \bruch{2x}{2}}{sin \bruch{x}{2}} sin \bruch{x}{2}
[/mm]
>
> [mm]
sin x = sin x
[/mm]
>
> I.V. Aufg.
>
> I.B. n [mm]\mapsto[/mm] n+1
>
> [mm]
sin x + sin 2x + ... + sin nx + sin (n+1)x = \bruch{sin \bruch{( n+2)x}{2}}{sin \bruch{x}{2}} sin \bruch{( n+1)x}{2}
[/mm]
>
> I.S.
>
> [mm]
\bruch{sin \bruch{( n+2)x}{2}}{sin \bruch{x}{2}} sin \bruch{( n+1)x}{2} = \bruch{sin \bruch{(n+1)x}{2}}{sin \bruch{x}{2}} sin \bruch{nx}{2} + sin (n+1)x
[/mm]
Du verwendest hier schon munter die Induktionbehauptung (was du gar nicht darfst, weil diese ja noch nicht bewiesen ist.
Was du machen kannst:
Zur als wahr angenommenenen Induktionsvorausetzung
[mm]sin x + sin 2x + ... + sin nx = \bruch{sin \bruch{(n+1)x}{2}}{sin \bruch{x}{2}} sin \bruch{nx}{2} ,x \not= 2k\pi , k\in\IZ[/mm]
auf beiden Seiten den neuen Summanden [mm] \sin{(n+1)x} [/mm] hinzuaddieren.
Damit entspricht der linke Tern der neuen Gleichung bereits dem linken Term der Induktionsbehauptung. Zeige nun, dass sich durch Hinzunahme des zusätzlichen Summanden der rechte Term in den rechten Term der Induktionsbehauptung umformen lässt.
Gruß Abakus
>
> rechte Seite:
> [mm]
=\bruch{sin \bruch{(n+1)x}{2} * sin \bruch{nx}{2} + sin \bruch{x}{2} * sin \bruch{(n+1)}{x}}{sin \bruch{x}{2}}
[/mm]
>
>
> ... und nun steh ich auf dem Schlauch, hat jmd eine Idee?
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke für den Hinweis Abakus, dennoch führt dies zum selben Term:
$ sin x + sin 2x + ... + sin nx + sin (n+1)x = [mm] \bruch{sin \bruch{( n+1)x}{2}}{sin \bruch{x}{2}} [/mm] sin [mm] \bruch{nx}{2} [/mm] + sin (n+1)x $
rechte Seite:
$ [mm] =\bruch{sin \bruch{(n+1)x}{2} \cdot{} sin \bruch{nx}{2} + sin \bruch{x}{2} \cdot{} sin \bruch{(n+1)}{x}}{sin \bruch{x}{2}} [/mm] $
und jener Stelle komme ich momentan nicht weiter.
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