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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 Di 08.03.2005 | | Autor: | xnay |
Ich hab schon gesehen, dass es hier bereits ein Bsp. betreffend die vollständige Induktion gibt, aber ich komm hier trotzdem nicht wirklich weiter. :-(
Also, die Angabe ist:
Man beweise mittels vollständiger Induktion:
[mm] \sum_{j=1}^{n} [/mm] j(j + 1) = [mm] \bruch{n}{6}(2n^2 [/mm] + 6n + 4) (n [mm] \ge [/mm] 1)
Vielleicht kann ja jemand was dazu sagen ...
danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:00 Di 08.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Naja, es gilt:
[mm] $(n+1)(2(n+1)^2+6(n+1)+4)$
[/mm]
[mm] $=(n+1)(2n^2+4n+2+6n+6+4)$
[/mm]
[mm] $=(n+1)(2n^2+10n+12)$
[/mm]
[mm] $=2n^3+10n^2+12n+2n^2+10n+12$
[/mm]
[mm] $=2n^3+12n^2+22n+12$,
[/mm]
und daher (Induktionsschluss von $n$ [mm] \to [/mm] $n+1$):
[mm] $\sum\limits_{j=1}^{n+1} [/mm] j(j+1)$
$= [mm] \sum\limits_{j=1}^n [/mm] j(j+1) + (n+1)(n+2)$
[mm] $\stackrel{(IV)}{=} \frac{n}{6}(2n^2+6n+4) [/mm] + (n+1)(n+2)$
$= [mm] \frac{2n^3+6n^2+4n+6n^2+18n+12}{6}$
[/mm]
$= [mm] \frac{2n^3 + 12n^2 + 22n + 12}{6}$
[/mm]
[mm] $\stackrel{(s.o.)}{=} \frac{n+1}{6} (2(n+1)^2+6(n+1)+4)$.
[/mm]
Schreibe dir also erst das hin, was du zeigen willst, und rechne dann so lange rum, bis es da steht.
Den Induktionsanfang bekommst du selber hin, nehme ich mal an (nur $n=1$ einsetzen und die Gleichheit überprüfen).
Viele Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:24 Di 08.03.2005 | | Autor: | xnay |
Ich hätte da noch 2 Fragen...:
Wozu und was genau wird in folgendem Abschnitt gemacht:
[mm] $(n+1)(2(n+1)^2+6(n+1)+4)$ [/mm]
[mm] $=(n+1)(2n^2+4n+2+6n+6+4)$ [/mm]
[mm] $=(n+1)(2n^2+10n+12)$ [/mm]
[mm] $=2n^3+10n^2+12n+2n^2+10n+12$ [/mm]
[mm] $=2n^3+12n^2+22n+12$, [/mm]
und warum kommt hier (n+1)(n+2)?
$= [mm] \sum\limits_{j=1}^n [/mm] j(j+1) + (n+1)(n+2)$
[mm] $\stackrel{(IV)}{=} \frac{n}{6}(2n^2+6n+4) [/mm] + (n+1)(n+2)$
kommt das (n+1)(n+2) von [mm] (2(n+1)^2+6(n+1)+4) [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:56 Sa 12.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Thomas!
> Wozu und was genau wird in folgendem Abschnitt gemacht:
>
> [mm](n+1)(2(n+1)^2+6(n+1)+4)[/mm]
>
> [mm]=(n+1)(2n^2+4n+2+6n+6+4)[/mm]
>
> [mm]=(n+1)(2n^2+10n+12)[/mm]
>
> [mm]=2n^3+10n^2+12n+2n^2+10n+12[/mm]
>
> [mm]=2n^3+12n^2+22n+12[/mm],
Man braucht ihn doch später, um von [mm] $2n^3 [/mm] + [mm] 12n^2 [/mm] + 22n + 12$ auf [mm](n+1)(2(n+1)^2+6(n+1)+4)[/mm] (und damit die rechte Seite der Induktionsbehauptung) zu kommen.
> und warum kommt hier (n+1)(n+2)?
> [mm]= \sum\limits_{j=1}^n j(j+1) + (n+1)(n+2)[/mm]
Naja, ich spalte die Summe auf: Erst die ersten $n$ Summanden (auf die ich dann die Induktionvoraussetzung anwende) und den $)n+1)$-ten Summanden. Setzt doch mal in der Summe $j=n+1$ ein. Dann erhältst du doch genau $(n+1)(n+2)$. Dies ist also der $(n+1)$-te Summand.
> [mm]\stackrel{(IV)}{=} \frac{n}{6}(2n^2+6n+4) + (n+1)(n+2)[/mm]
Hier wende ich die Induktionsvoraussetzung auf die ersten $n$ Summanden an.
> kommt das (n+1)(n+2) von [mm](2(n+1)^2+6(n+1)+4)[/mm] ?
Nein, das hat damit überhaupt gar nichts zu tun.
Ist es denn jetzt klar?
Ich fürchte dir ist das Prinzip der vollständigen Induktion noch (!) ein Buch mit sieben Siegeln. Du solltest dir erst noch einmal ganz einfache Beispiele anschauen, wie etwa den Beweis von
[mm] $\sum\limits_{i=1}^n [/mm] i = [mm] \frac{n(n+1)}{2}$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Sa 12.03.2005 | | Autor: | xnay |
Ok, vielen dank!
Ja, hast recht, mir ist/war die vollständige Induktion noch immer nicht so ganz klar, aber ich hab sie mir in letzter Zeit eh n bissl genauer angeschaut, wird schon werden! 
Danke!
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