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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:43 Di 16.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständiger Induktion, dass
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^2=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] n [mm] \in \IN_0 [/mm] |
Mein Ansatz:
[mm] k^2=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} [/mm] ist als eine Aussage A(n) gegeben,
und ich muss jetzt für alle [mm] n\in \IN_0 [/mm] : [mm] (A(n)\RightarrowA(n+1)) [/mm] zeigen.
für k steht doch für alle natürliche Zahlen von 1...n
für [mm] k=1^2=\bruch{1(1+1)(2+1)}{6}=1 [/mm] stimmt es, also der Induktionsanfang(IA)
Induktionsvoraussetzung(IV) ist, die Formel gilt für n
es folgt der Induktionsschritt(IS)
[mm] =\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+(n+1)
[/mm]
[mm] =\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}+\bruch{6(n+1)}{6}
[/mm]
hier hänge ich, und weiß auch nicht ob meine Afangsgedanken richtig sind.
Meine Schwierigkeit hängt daran, die 6 wegzubekommen.
Die beiden Brüche wollte ich jetzt zusammen führen, in etwa so:
[mm] =\bruch{n(n+1)(2n+1)+6(n+1)}{6}
[/mm]
dann die Klammern auflösen, die Elemente ordnen und wieder die Klammern so setzen, dass halt das neue Folgeglied mit dabei ist...
habe heut auch ein bissl viel mathe gemacht und sehe vielleicht das Einfache hier nicht  .
viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:46 Di 16.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Feiratos!
Das sieht doch schon sehr gut aus. Allerdings hast Du ein Quadrat vergessen.
Denn es muss heißen:
$$= \ [mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}+(n+1)^{\red{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}+\bruch{6*(n+1)^{\red{2}}}{6}$$
[/mm]
Nun die Brüche zusammenfassen und anschließend $(n+1)_$ ausklammern.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:19 So 21.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
n+1:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^2=(n+1)^2+\summe_{k=1}^{n}k^2
[/mm]
also so:
[mm] (n+1)^2+\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+1) (6(n+1)+n(2n+1))}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)(6(n+1)+n(2n+1)}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6} [/mm] ...?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 So 21.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Feiratos!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Richtig ...
Gruß
Loddar
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