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| Aufgabe | eigentlich ja klar.....aber:
Beweisen Si mit hilfe der vollst. ind.
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(6+k)(7+k)} [/mm] = [mm] \bruch{n}{7(7+n)}
[/mm]
n [mm] \in [/mm] N |
Also ich hänge...glaube es ist nur noch ne kleinigkeit aber ich habe grade ein brett vor dem kopf hoffe jemand von euch kann mir helfen.
I.A.:
A(1):
[mm] \summe_{k=1}^{1}\bruch{1}{(6+1)(7+1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{7(7+1)} [/mm] (wahr)
I.S:n--> n+1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{(6+k)(7+k)} [/mm] = ( [mm] \bruch{n+1}{7(8+n)}) [/mm] =
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{(6+k)(7+k)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(7+n)(8+n)} [/mm] =
[mm] \bruch{n}{7(7+n)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(7+n)(8+n)}
[/mm]
und jetzt bekomme ich das irgendwie nicht weiter umgeformt so, dass ich auf [mm] \bruch{n+1}{7(8+n)} [/mm] komme.
Danke schonmal für die Hilfe
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 So 18.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Aldiimwald!
Bringe beide Brüche auf den Hautptnenner $7*(7+n)*(8+n)_$ und fasse zusammen.
Gruß
Loddar
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dann bekomme ich ja
[mm] \bruch{n (8+n)}{7(7+n) (8+n)} [/mm] + [mm] \bruch{1*7(7+n)}{(7+n)(8+n)7(7+n)} [/mm] = [mm] \bruch{n (8+n)+7}{7(7+n) (8+n)}
[/mm]
und da hänge ich ich glaube ich hab huete schon zu viele zahlen gesehen und es is spät^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:20 So 18.05.2008 | | Autor: | abakus |
> dann bekomme ich ja
>
> [mm]\bruch{n (8+n)}{7(7+n) (8+n)}[/mm] +
> [mm]\bruch{1*7(7+n)}{(7+n)(8+n)7(7+n)}[/mm] =
>
> [mm]\bruch{n (8+n)+7}{7(7+n) (8+n)}[/mm]
>
> und da hänge ich ich glaube ich hab huete schon zu viele
> zahlen gesehen und es is spät^^
Hallo,
du weißt doch, was laut Induktionsbehauptung herauskommen muss.
Dein letzter Term ergibt nach Ausmultiplizieren im Zähler
[mm]\bruch{n^2+8n+7}{7(7+n) (8+n)}[/mm]
Im Vergleich mit der Induktionsbehauptung hast du im Nenner einen Faktor zu viel (7+n) und im Zähler auch einen zu großen Term. Also musst du sehen, dass sich auch im Zähler (n+7) ausklammern lässt, damit sich das wegkürzt.
(Und da (n+1) im Zähler übrigbleiben soll, würde ich doch einfach mal schauen, ob eventuell [mm] (n+1)(n+7)=n^2+8n+7 [/mm] gelten könnte.....)
Viele Grüße
Abakus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:27 So 18.05.2008 | | Autor: | Aldiimwald |
super auf die Idee bin ich noch nicht gekommen den gesuchten bruch um (7+1) zu erweitern dafür hat mir das Auge gefehlt! vielen Dank!
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Der Zähler ist [mm] 8n+n^2+7 [/mm] und das ist gerade
(7+n)(n+1),
so dass sich (7+n) schließlich herauskürzt!
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