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| Aufgabe | Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] 5^n [/mm] -1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Nun habe ich als Induktionsanfang:
[mm] \bruch{5^1 -1}{4}
[/mm]
Als Induktionsschritt:
n -> (n+1)
[mm] \bruch{5^(n+1) -1}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{5^n *5^1 -1}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{5^n *(5^1 -1)}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{5^n}{4} [/mm] * [mm] \bruch{5^1 -1}{4}
[/mm]
nun ist [mm] \bruch{5^n *5^1 -1}{4} [/mm] = durch 4 teilbar und [mm] \bruch{5^n}{4} [/mm] gibt nur ein vielfaches an
Wäre nun für jedes Kommentar zu meiner Beweisführung dankbar!!!
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Hallo!
Zunächst vermute ichmal, daß du zeigen willst, daß dieser Ausdruck stets durch vier teilbar ist. Das hast du nirgens geschrieben.
Ansonsten hast du da ein paar elementare Rechenfehler:
> [mm]\bruch{5^(n+1) -1}{4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{5^n *5^1 -1}{4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{5^n *(5^1 -1)}{4}[/mm]
>
Also, da steht für n=1:
$24= 25-1= 5*5-1=5*(5-1)=20$
> [mm]\bruch{5^n}{4}[/mm] * [mm]\bruch{5^1 -1}{4}[/mm]
Und auch das kann nicht dein Ernst sein.
[mm] $1=\frac{2}{2}=\frac{1*2}{2}=\frac{1}{2}*\frac{2}{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$
[/mm]
Du solltest es eher so probieren:
[mm] 5^{n+1}-1= 5^n+5^n+5^n+5^n+5^n-1=(4*5^n)+(5^n-1)
[/mm]
Der linke Teil hat nen Faktor 4 drin, der rechte ist per Voraussetzung durch 4 teilbar.
>
> nun ist [mm]\bruch{5^n *5^1 -1}{4}[/mm] = durch 4 teilbar und
> [mm]\bruch{5^n}{4}[/mm] gibt nur ein vielfaches an
>
> Wäre nun für jedes Kommentar zu meiner Beweisführung
> dankbar!!!
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Ja stimmt, die Aufgabe lautet:
Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: für alle n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] 5^n [/mm] -1 ist durch 4 teilbar
Sorry!
Aber mein Anfang war schon richtig:
[mm] 5^n [/mm] -1
für n=1 folgt: [mm] 5^1 [/mm] -1 = 5-1 =4
Nun möchte ich in dem Indukrionsschritt beweisen, dass es allgemein für alle n [mm] \in \IN [/mm] gültig ist! Dazu verwende ich n -> n+1
[mm] 5^{n+1} [/mm] -1
Wie kann ich nun die Deffinition: durch 4 teilbar in den therm bringen?
Du hast dies durch die mutliplikation mit dem faktor 4 bewirkt? Habe ich nicht gesehen...
$ [mm] 5^{n+1}-1= 5^n+5^n+5^n+5^n+5^n-1=(4\cdot{}5^n)+(5^n-1) [/mm] $
ich müsste wenn doch dann
[mm] (5^{n+1} [/mm] -1)*4 multiplizieren!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Fr 26.10.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] 5^{n+1}=5*5^n=5^n+5^n+5^n+5^n+5^n [/mm] = [mm] 4*5^n+5^n
[/mm]
genauer lesen!
bist du wirklich mathe Lehrer?
Gruss leduart
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Ja ich bin Lehrer für die Fächerkombination Mathematik und Sport, kann versichern das Induktionsbeweise in keinem Matheunterricht auftauchen...und auch kein Schüler aus interesse nach solchen themen auf die idee kommt zu fragen!
Aber nun wieder zu meinem Problem:
Ich soll also die 4 ausklammern?
$ [mm] 5^{n+1}-1=5\cdot{}5^n-1=5^n+5^n+5^n+5^n+5^n [/mm] -1$
= [mm] 4*5^n+(5^n-1)
[/mm]
Okay, danke das hat mich nun schon weiter gebracht, denn es ist klar das der erste Teil:
[mm] 4*5^n [/mm]
durch 4 Teilbar ist, jedoch sehe ich keine möglichkeit mehr den zweiten teil zu beweisen, mein Induktionsanfang reicht dafür nicht aus - oder täusche ich mich?
Vielen dank für die zahlreichen Verbesserungen/Anregungen!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Fr 26.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo TUDarmstadt!
Der Term [mm] $5^n-1$ [/mm] ist doch gemäß Induktionsvoraussetzung ebenfalls durch $4_$ teilbar.
Gruß
Loddar
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