vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:43 Mi 04.07.2007 | | Autor: | oehm2000 |
| Aufgabe | [mm] \summe_{k=2}^{n}=\bruch{1}{k(k-1)}
[/mm]
Beweisen Sie durch vollständige Induktion nach [mm] n\ge2
[/mm]
[mm] \summe_{k=2}^{n}k(k-1)=\bruch{1}{3}n(n²-1)
[/mm]
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Bin für jeden Lösungvorschlag dankbar, da ich überhaupt keine Ahnung von vollständiger Induktion habe.
Gruss
oehm2000
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:04 Mi 04.07.2007 | | Autor: | wauwau |
[mm]\summe_{k=2}^{n}k(k-1)=\bruch{1}{3}n(n²-1)[/mm]
Induktionsbasis n= 2
[mm]2(2-1)=\bruch{1}{3}2(2^2-1)[/mm] ist ja richtig
Induktionsvoraussetzung: die Formel gelte für alle n [mm] \le [/mm] m
Behauptung: sie gilt auch für n=m+1
Beweis
[mm] \summe_{k=2}^{m+1}k(k-1)=\summe_{k=2}^{m}k(k-1) [/mm] + [mm] (m+1)m=\bruch{1}{3}m(m^2-1)+(m+1)m [/mm] = [mm] \bruch{1}{3}(m(m^2-1)+3(m+1)m)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{3}((m+1)((m-1)+3m))=\bruch{1}{3}((m+1)((m+1)^2-1)) [/mm] q.e.d
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