vollständige Induktion < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:04 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Mamoe |
| Aufgabe | Beweise mittels vollständiger Induktion
1+2+4+...... + [mm] 2^n^-^1 [/mm] = [mm] 2^n [/mm] -1
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Guten Abend
Habe jetzt eine Reihe von AUfgaben erledigt aber diese hier bleibt mir schleierhaft...Hat mir da vll jemand einen Lösungsweg????
MFG
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:53 Mi 08.11.2006 | | Autor: | Nienor |
Hi, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Der Induktionsanfang ist ja klar: für n=1 kommt 1=1 raus, also eine wahre Aussage
Dann die Voraussetzung: [mm] 1+2+4+...+2^{n-1}=2^{n}-1
[/mm]
Dann die Behauptung: du setzt n+1 für n ein und kommst so auf
[mm] 1+2+4+...+2^{(n+1)-1}=2^{n+1}-1
[/mm]
Dann formst du den ersten Teil um
[mm] 1+2+4+...+2^{n}=1+2+4+...+2^{(n-1)}+2^{n}
[/mm]
Dann steht im ersten Teil der Gleichung daselbe wie in der Voraussetzung, also kannst du es auch dafür einsetzen:
[mm] 2^{n}-1+2^{n}=2*2^{n}-1=2^{n+1}-1
[/mm]
und [mm] 2^{n+1}-1 [/mm] ist ja genau das, was laut Behauptung rauskommen soll, also bist du fertig!
Gruß, Anne
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