vollst. Induktion fuer Folgen? < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:42 Mo 07.03.2005 | | Autor: | noone__ |
Ich habe irgendeine Folge und eine allgemeine Formel dazu.
z.B:| 1: | n0 n1 n2 n3 n4 n5 .... nn
| | 2: | 5/2 5 10 20 40 80 ... 2^(n-1)*5 |
Kann ich Formeln fuer das n-te Glied von Folgen (hier:2^(n-1)*5) mittels vollständiger Induktion beweisen?
Falls ja, wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:52 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo noone!
Ja, das geht natürlich!
Offenbar ist die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] wie folgt rekursiv definiert:
[mm] $a_0:= \frac{5}{2}$,
[/mm]
[mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n \cdot [/mm] 2$.
Nun wollen wir mit vollständiger Induktion zeigen, dass
[mm] $a_n [/mm] = [mm] 2^{n-1} \cdot [/mm] 5$
gilt.
Die Induktionsvoraussetzung $(n=0)$ ist auf Grund der obigen Festlegung erfüllt.
Nun zum Induktionsschritt $n [mm] \to [/mm] (n+1)$:
Es gilt:
[mm] $a_{n+1} [/mm] = [mm] a_n \cdot [/mm] 2 [mm] \stackrel{(IV)}{=} \ldots$
[/mm]
Naja, und jetzt die Induktionsvoraussetzung einsetzen (für $n$) und dann noch eine Rechnung durchführen, dann bist du fertig. 
Viele Grüße
Julius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:44 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Noone!
In diesem Falle kommt man auch ohne vollständige Induktion aus (falls erlaubt oder auch gewünscht) ...
Da ja gilt für alle n: [mm] $\bruch{a_{n+1}}{a_n} [/mm] \ = \ 2 \ = \ const.$, haben wir ja eine geometrische Folge, die folgende explizite Darstellung hat:
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] a_1 [/mm] * [mm] q^{n-1}$ [/mm] bzw. [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] a_0 [/mm] * [mm] q^{n}$
[/mm]
Wenn wir unsere Werte einsetzen, erhalten wir ebenfalls:
[mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] a_0 [/mm] * [mm] q^{n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{5}{2} [/mm] * [mm] 2^n [/mm] \ = \ ... \ = \ 5 * [mm] 2^{n-1}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:20 Mo 07.03.2005 | | Autor: | noone__ |
Danke fuer die Antworten.
Ich soll an der Folge das Beweisprinzip der vollstaendigen Induktion demonstrieren.
Wie soll ich das am Besten machen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Mo 07.03.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Hast du denn meine Antwort nicht gelesen? Das habe ich doch vorgemacht...
Was verstehst du daran denn nicht?
Viele Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:16 Di 08.03.2005 | | Autor: | noone__ |
Doch sicher, hab ich.
Das war an Loddar gerichtet.
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