vollst. Induktion - Folge < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
[mm] k\in\IR [/mm] , k [mm] \ge [/mm] 1, [mm] (a_n) [/mm] ist definiert durch
[mm] a_1 [/mm] := 1 und
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{k*a_n} [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
Jetzt möchte ich zeigen, dass für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
[mm] a_n \le a_{n+1}
[/mm]
Für n= 1 ist das klar. Mir geht es gerade um den Induktionsschritt n [mm] \to [/mm] n+1:
Zu zeigen ist ja [mm] a_{n+1} \le a_{n+2}.
[/mm]
Also
[mm] \wurzel{k*a_n} \le \wurzel{k*a_{n+1}}
[/mm]
Ist das jetzt so trivial oder wie gehe ich hier nun vor?
Danke,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Di 06.05.2008 | | Autor: | nad21 |
> [mm]\wurzel{k*a_n} \le \wurzel{k*a_{n+1}}[/mm]
>
> Ist das jetzt so trivial oder wie gehe ich hier nun vor?
Die Funktion [mm] \wurzel{x} [/mm] ist für positive x (streng) monoton wachsend.
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Hallo nad21,
danke für Deine Antwort.
> > [mm]\wurzel{k*a_n} \le \wurzel{k*a_{n+1}}[/mm]
>
> Die Funktion [mm]\wurzel{x}[/mm] ist für positive x (streng) monoton
> wachsend.
Ja, und genau das möchte ich ja per Induktion zeigen?
Danke,
Anna
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Di 06.05.2008 | | Autor: | nad21 |
> Ja, und genau das möchte ich ja per Induktion zeigen
Du willst ja zeigen, dass die Folge [mm] $a_n$ [/mm] monoton wachsend ist.
Das kannst du auf mehrere Arten machen, wenn du allerdings bereits
weisst, dass die Wurzelfunktion monoton wachsend ist, dann ist der
Induktionsschluss nicht schwierig. Alternativ kannst du auch zeigen,
dass der Quotient aus [mm] $a_{n+1}$ [/mm] und [mm] $a_{n+2}$ [/mm] durch 1 beschränkt ist
(und [mm] $a_n [/mm] > 0$ fuer alle n gilt). Hilft dir das weiter?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Di 06.05.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo nad21,
danke auch Dir für Deine Antwort. Zusammen mit den anderen Antworten ist es
mir sehr klar geworden.
Gruß,
Anna
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Hallo,
[mm]k\in\IR[/mm] , k [mm]\ge[/mm] 1, [mm](a_n)[/mm] ist definiert durch
[mm]a_1[/mm] := 1 und
[mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{k*a_n}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
Ich möchte [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] bestimmen.
Wie gehe ich da nun vor?
Gruß,
Anna
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> Hallo,
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> [mm]k\in\IR[/mm] , k [mm]\ge[/mm] 1, [mm](a_n)[/mm] ist definiert durch
> [mm]a_1[/mm] := 1 und
> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\wurzel{k*a_n}[/mm] für alle [mm]n\in\IN[/mm]
>
> Ich möchte [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] bestimmen.
> Wie gehe ich da nun vor?
Hallo,
wenn Du inzwischen gezeigt hast, daß die Folge [mm] (a_n) [/mm] monoton wachsend und beschränkt ist, weißt Du, daß sie eine Grenzwert g hat.
Jetzt laß auf die Gleichung [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \wurzel{k*a_n} [/mm] den Grenzwert los.
Gegen was konvergiert [mm] a_{n+1}, [/mm] gegen was [mm] a_n [/mm] ?
Nun kannst Du den Grenzwert g errechnen.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
danke für Deine Antwort. Kann es sein, dass der Grenzwert 1 ist?
Gruß,
Anna
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>Kann es sein, dass der Grenzwert 1
> ist?
Hallo,
nein, der Grenzwert ist nicht in jedem Fall 1.
Du weißt inzwischen, daß die Folge [mm] (a_n) [/mm] konvergiert, sie hat also eine Grenzwert g, welchen wir im Moment noch nicht können.
Aber natürlich ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=g [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=g.
[/mm]
Du weißt: $ [mm] a_{n+1} [/mm] $ = $ [mm] \wurzel{k\cdot{}a_n} [/mm] $ ,
also ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}$ a_{n+1} [/mm] $ = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}$ \wurzel{k\cdot{}a_n} [/mm] $
==> ...
Die nun entstandene Gleichung mußt Du nach g auflösen, dann hast Du den Grenzwert bzw. die beiden Grenzwertkandidaten, zwischen denen Du Dich dann noch entscheiden mußt.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Mo 19.05.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo Angela,
spät, aber ich möchte mich noch bei Dir für Deine hilfreiche Antwort bedanken!
Gruß,
Anna
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Der Beweis gelingt durch Vollständige Induktion, wenn du gleichzeitig noch beweist, dass [mm] a_n\le [/mm] k ist.
I-Verankerung: [mm] a_1=1\le [/mm] k, da k so festgelegt wurde. Außerdem noch:
[mm] a_2=\wurzel{k*a_1}=\wurzel{k}, [/mm] wobei einerseits [mm] \wurzel{k}\ge [/mm] 1 = [mm] a_1 [/mm] ist und somit [mm] a_2 \ge a_1, [/mm] andererseits [mm] \wurzel{k}\le [/mm] k für [mm] k\ge [/mm] 1 und somit auch [mm] a_2 \le [/mm] k.
I-Schritt von n auf n+1:
Es ist [mm] a_{n+1}=\wurzel{k*a_n}.
[/mm]
Wegen [mm] a_n\le [/mm] k (nach Ind.-Vor.) ist die rechte Seite [mm] \le \wurzel{k*k}=k, [/mm] also damit auch [mm] a_{n+1}\le [/mm] k.
Ebenfalls wegen [mm] a_n\le [/mm] k (nach Ind.-Vor.) ist die rechte Seite [mm] \ge \wurzel{a_n*a_n}=a_n, [/mm] also [mm] a_{n+1}\ge a_n.
[/mm]
(Für diesen letzten Schritt brauchtest du [mm] a_n\le [/mm] k, und deshalb musst du diese Tatsache auch immer "mit durchschleppen".)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Di 06.05.2008 | | Autor: | Anna-Lyse |
Hallo HJKweseleit,
vielen Dank für Deine Antwort! Sie hat mir sehr geholfen!!
Gruß,
Anna
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