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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:10 Sa 04.09.2010 | | Autor: | Julia92 |
Hallo,
wir behandeln im Unterricht zurzeit die vollständige Induktion. Meine Frage dazu ist erst am Schluss der Induktion. Vorerst aber erst mein Lösungsansatz:
1/(1*5) + 1/(5*9) + 1/(9*13) +...+1/((4n-3)(4n+1))=n/(4n+1)
zu beweisen ist: [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] = n/(4n+1)
1.) Anfang: die Formel gilt für:
n=1 1/1*5=1/4*1+1
1/5= 1/5
2.) Schluss: Annahme: die danach folgende Zahl muss auch der Formel entsprechen-> (n+1)
1/(1*5) + 1/(5*9) + 1/(9*13) +...+1/((4n-3)(4n+1)) = n/(4n+1)
/ + 1/(4(n+1)-3)*(4(n+1)+1)
nun zur Rechnung: ( nur auf der rechten Seite):
=n/(4n+1) + 1/(4(n+1)-3)*(4(n+1)+1) / vereinfachen
=n/(4n+1) + 1/(4n+1)(4n+5) / auf den gleichen
Nenner bringen
=n(4n+5)+1/ (4n+1)(4n+5)
Das ist der Punkt, an dem ich nicht mehr weiter komme. Entweder habe ich bisher einen Fehler gemacht oder ich sehe den Trick gerade nicht. Sicher ist, dass am Ende umgeformt folgendes dastehen muss:
(n+1)/(4n+5)
Hat jemand einen Hinweis, wie ich den Bruch in den obenstehenden Bruch umwandeln kann ?
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Hallo Julia92,
> Hallo,
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> wir behandeln im Unterricht zurzeit die vollständige
> Induktion. Meine Frage dazu ist erst am Schluss der
> Induktion. Vorerst aber erst mein Lösungsansatz:
>
> 1/(1*5) + 1/(5*9) + 1/(9*13)
> +...+1/((4n-3)(4n+1))=n/(4n+1)
>
> zu beweisen ist: [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] = n/(4n+1)
>
> 1.) Anfang: die Formel gilt für:
> n=1 1/1*5=1/4*1+1
> 1/5= 1/5
>
> 2.) Schluss: Annahme: die danach folgende Zahl muss auch
> der Formel entsprechen-> (n+1)
>
>
> 1/(1*5) + 1/(5*9) + 1/(9*13) +...+1/((4n-3)(4n+1)) =
> n/(4n+1)
>
> / + 1/(4(n+1)-3)*(4(n+1)+1)
>
> nun zur Rechnung: ( nur auf der rechten Seite):
>
> =n/(4n+1) + 1/(4(n+1)-3)*(4(n+1)+1) /
> vereinfachen
>
>
> =n/(4n+1) + 1/(4n+1)(4n+5)
> / auf den gleichen
> Nenner bringen
>
> =n(4n+5)+1/ (4n+1)(4n+5)
>
> Das ist der Punkt, an dem ich nicht mehr weiter komme.
> Entweder habe ich bisher einen Fehler gemacht oder ich sehe
> den Trick gerade nicht. Sicher ist, dass am Ende umgeformt
> folgendes dastehen muss:
>
> (n+1)/(4n+5)
>
> Hat jemand einen Hinweis, wie ich den Bruch in den
> obenstehenden Bruch umwandeln kann ?
>
Ersetze im Zähler 4n+5 durch [mm]\left(4n+1\right)+4[/mm].
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:44 Sa 04.09.2010 | | Autor: | Julia92 |
super! Danke- habe es geschafft!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Fr 19.11.2010 | | Autor: | racy90 |
hallo
Ich sitz gerade vor derselben aufgabe
das mit der aufspaltung zu (4n+1)+4 ist mir schon klar das ich dann kürzen kann aber was passiert mit dem +4??
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Hallo racy,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Betrachten wir den Zähler:
[mm]n*(4n+5)+1 \ = \ n*[(4n+1)+4]+1 \ = \ n*(4n+1)+4*n+1 \ = \ n*\blue{(4n+1)}+\blue{(4n+1)}[/mm]
Nun [mm]\blue{(4n+1)}[/mm] ausklammern und kürzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:34 Fr 19.11.2010 | | Autor: | racy90 |
Wo kommt das 2te n für 4*n+1 her? es steht doch nur eins vor der eckigen klammer
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Hallo racy!
Ich habe das $n_$ mit den Termen innerhalb der eckigen Klammer multipliziert.
Dazu kommt dann noch das $+1_$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:47 Fr 19.11.2010 | | Autor: | racy90 |
ja okay
dann hab ich n*(4n+1)+(4n+1) /(4n+1)(4n+5)
dann bin ich aber noch weit weg von n+1/4n+5 .-.
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Hallo!
> dann hab ich n*(4n+1)+(4n+1) /(4n+1)(4n+5)
Klammere im Zählöer nun $(4n+1)_$ aus und kürze anschließend.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:45 Fr 19.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo racy
Lös einfach mal langsam die eckge klammer auf. lass dabei die rund stehen.
was kriegst du dann raus?
Gruss leduart
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