voll. Induktion einer Folge < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Fr 25.10.2013 | | Autor: | RoMalle |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gegeben habe ich die Folge
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{3 a_{n}^2+2}{4 a_{n}}
[/mm]
mit [mm] a_{0} [/mm] = 1.
Nun soll ich mit vollständiger Induktion zeigen, dass [mm] a_{n}\in[1,\wurzel{2}].
[/mm]
Der Anfang ist leicht, da [mm] a_{0} [/mm] = 1 ist, ist gleichzeitig gezeigt, dass die 1 im Intervall drinnen ist. Doch wie sieht jetzt die Behauptung und der Schritt aus?
Mit der voll. Ind. hatte ich bei Reihen nie Probleme, nur wie macht man sowas für Folgen? Es wäre super, wenn mir dabei Jemand helfen könnte.
Gruß
RoMalle
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Hallo und
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Gegeben habe ich die Folge
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> [mm]a_{n+1}[/mm] = [mm]\bruch{3 a_{n}^2+2}{4 a_{n}}[/mm]
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> mit [mm]a_{0}[/mm] = 1.
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> Nun soll ich mit vollständiger Induktion zeigen, dass
> [mm]a_{n}\in[1,\wurzel{2}].[/mm]
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> Der Anfang ist leicht, da [mm]a_{0}[/mm] = 1 ist, ist gleichzeitig
> gezeigt, dass die 1 im Intervall drinnen ist. Doch wie
> sieht jetzt die Behauptung und der Schritt aus?
> Mit der voll. Ind. hatte ich bei Reihen nie Probleme, nur
> wie macht man sowas für Folgen? Es wäre super, wenn mir
> dabei Jemand helfen könnte.
>
Na ja, die Methode ist immer die gleiche. Das Problem hier ist, dass man sich irgendwie schwer tut, die vollständige Induktion ins Spiel zu bringen.
Was man nämlich über den Ansatz
[mm] a_{n+1}-a_{n}
[/mm]
relativ leicht zeigt, ist die Tatsache, dass die Folge streng monoton wächst. Die Beschränkung nach unten ist damit auch gegessen, bleibt die obere Schranke (hier hast du übrigens einen Schreibfehler, dass sollte
[mm] a_n\in[1;\sqrt{2})
[/mm]
heißen. Mit der Monotonie kann man die Beschränkung nach oben ebenfalls direkt zeigen, aber wir können es ja mal per Induktion versuchen.
Nimm also
[mm] a_n<\sqrt{2}
[/mm]
an und zeige damit
[mm] a_{n+1}<\sqrt{2}
[/mm]
Das klappt bspw., wenn du die entstehende Ungleichung zweckmäßigerweise noch quadrierst, ist aber wirklich nach dem Motto 'warum einfach, wenn es auch kompliziert geht' aufgezogen. Denn man kann hier tatsächlich aus der Monotonie heraus direkt die Beschränkung nach oben nachrechnen.
Gruß, Diophant
PS: Sorry, dass ich vorher schon einmal mit einer Antwort angefangen habe und sie dann wieder abgebrochen habe. Mein Telefon...
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