verträgliche Matrixnorm < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass für jede Vektornorm [mm] || \cdot || [/mm] auf [mm] \IK^n [/mm] durch [mm] ||A|| := sup \left \{ \bruch{||Ax||}{||x||} \ | \ x \in \IK^n, \ x\not= 0 \right \} = sup \{||Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} [/mm] eine mit ihr verträgliche Matrixnorm erklärt ist. |
Hallo zusammen.
Ich habe das soweit hinbekommen, nur die Dreicksungleichung [mm] ||AB|| \le ||A|| \ ||B|| [/mm] fehlt mir noch. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich das anfangen kann?
Vielleicht noch am Rande: Bisher habe ich immer wie folgt gearbeitet: [mm] ||\alpha A|| = sup \{ ||\alpha Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = sup \{ |\alpha| \ || Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = |\alpha| \cdot sup \{ || Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} [/mm] Ich weiß nicht, ob ich in dieser Art bei der Dreiecksungleichung vorwärts komme.
LG
fagottator
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:31 Fr 25.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie, dass für jede Vektornorm [mm]|| \cdot ||[/mm] auf [mm]\IK^n[/mm]
> durch [mm]||A|| := sup \left \{ \bruch{||Ax||}{||x||} \ | \ x \in \IK^n, \ x\not= 0 \right \} = sup \{||Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}[/mm]
> eine mit ihr verträgliche Matrixnorm erklärt ist.
> Hallo zusammen.
>
> Ich habe das soweit hinbekommen, nur die Dreicksungleichung
> [mm]||AB|| \le ||A|| \ ||B||[/mm]
Diese Ungleichung heißt nicht Dreiecksungleichung !!!!!
> fehlt mir noch. Kann mir jemand
> einen Tipp geben, wie ich das anfangen kann?
> Vielleicht noch am Rande: Bisher habe ich immer wie folgt
> gearbeitet: [mm]||\alpha A|| = sup \{ ||\alpha Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = sup \{ |\alpha| \ || Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = |\alpha| \cdot sup \{ || Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}[/mm]
> Ich weiß nicht, ob ich in dieser Art bei der
> Dreiecksungleichung vorwärts komme.
Die Matrixnorm hat die Eigenschaft:
$||Ax|| [mm] \le [/mm] ||A||*||x||$ für jedes x [mm] \in \IK^n
[/mm]
(das folgt sofort aus der Definition)
Nimm nun ein x [mm] \in \IK^n [/mm] mit $||x||=1$
Dann:
$||ABx|| [mm] \le [/mm] ||A||*||Bx|| [mm] \le [/mm] ||A||*||B||*||x||= ||A||*||B||$
Jetzt Du:
$||AB||= sup .... [mm] \le [/mm] ||A||*||B||$
FRED
>
> LG
> fagottator
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> > Zeigen Sie, dass für jede Vektornorm [mm]|| \cdot ||[/mm] auf [mm]\IK^n[/mm]
> > durch [mm]||A|| := sup \left \{ \bruch{||Ax||}{||x||} \ | \ x \in \IK^n, \ x\not= 0 \right \} = sup \{||Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}[/mm]
> > eine mit ihr verträgliche Matrixnorm erklärt ist.
> > Hallo zusammen.
> >
> > Ich habe das soweit hinbekommen, nur die Dreicksungleichung
> > [mm]||AB|| \le ||A|| \ ||B||[/mm]
>
> Diese Ungleichung heißt nicht Dreiecksungleichung !!!!!
Sorry, "Submultiplikativität", oder?
>
> > fehlt mir noch. Kann mir jemand
> > einen Tipp geben, wie ich das anfangen kann?
> > Vielleicht noch am Rande: Bisher habe ich immer wie
> folgt
> > gearbeitet: [mm]||\alpha A|| = sup \{ ||\alpha Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = sup \{ |\alpha| \ || Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = |\alpha| \cdot sup \{ || Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}[/mm]
> > Ich weiß nicht, ob ich in dieser Art bei der
> > Dreiecksungleichung vorwärts komme.
>
>
> Die Matrixnorm hat die Eigenschaft:
>
> [mm]||Ax|| \le ||A||*||x||[/mm] für jedes x [mm]\in \IK^n[/mm]
>
> (das folgt sofort aus der Definition)
>
> Nimm nun ein x [mm]\in \IK^n[/mm] mit [mm]||x||=1[/mm]
>
> Dann:
>
> [mm]||ABx|| \le ||A||*||Bx|| \le ||A||*||B||*||x||= ||A||*||B||[/mm]
>
> Jetzt Du:
>
> [mm]||AB||= sup .... \le ||A||*||B||[/mm]
[mm] ||AB|| = sup \{||ABx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le sup \{||A|| \cdot ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le sup \{ ||A|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \cdot sup \{ ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} [/mm] (???) Jetzt würde ja [mm] sup \{ ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = ||B|| [/mm] passen, aber was mache ich mit [mm] sup \{ ||A|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} [/mm]? Ich meine da gilt [mm] ||x|| = 1 [/mm] würde [mm] ||A|| = ||A|| \cdot ||x|| [/mm] hinhauen, aber wegen [mm] ||A|| \cdot ||x|| \ge ||Ax|| [/mm] kann ich das ja auch nicht benutzen, oder?
>
> FRED
> >
LG
fagottator
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Fr 25.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > Zeigen Sie, dass für jede Vektornorm [mm]|| \cdot ||[/mm] auf [mm]\IK^n[/mm]
> > > durch [mm]||A|| := sup \left \{ \bruch{||Ax||}{||x||} \ | \ x \in \IK^n, \ x\not= 0 \right \} = sup \{||Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}[/mm]
> > > eine mit ihr verträgliche Matrixnorm erklärt ist.
> > > Hallo zusammen.
> > >
> > > Ich habe das soweit hinbekommen, nur die Dreicksungleichung
> > > [mm]||AB|| \le ||A|| \ ||B||[/mm]
> >
> > Diese Ungleichung heißt nicht Dreiecksungleichung !!!!!
>
> Sorry, "Submultiplikativität", oder?
> >
> > > fehlt mir noch. Kann mir jemand
> > > einen Tipp geben, wie ich das anfangen kann?
> > > Vielleicht noch am Rande: Bisher habe ich immer wie
> > folgt
> > > gearbeitet: [mm]||\alpha A|| = sup \{ ||\alpha Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = sup \{ |\alpha| \ || Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = |\alpha| \cdot sup \{ || Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}[/mm]
> > > Ich weiß nicht, ob ich in dieser Art bei der
> > > Dreiecksungleichung vorwärts komme.
> >
> >
> > Die Matrixnorm hat die Eigenschaft:
> >
> > [mm]||Ax|| \le ||A||*||x||[/mm] für jedes x [mm]\in \IK^n[/mm]
> >
> > (das folgt sofort aus der Definition)
> >
> > Nimm nun ein x [mm]\in \IK^n[/mm] mit [mm]||x||=1[/mm]
> >
> > Dann:
> >
> > [mm]||ABx|| \le ||A||*||Bx|| \le ||A||*||B||*||x||= ||A||*||B||[/mm]
>
> >
> > Jetzt Du:
> >
> > [mm]||AB||= sup .... \le ||A||*||B||[/mm]
>
> [mm]||AB|| = sup \{||ABx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le sup \{||A|| \cdot ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le sup \{ ||A|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \cdot sup \{ ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}[/mm]
> (???) Jetzt würde ja [mm]sup \{ ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = ||B||[/mm]
> passen, aber was mache ich mit [mm]sup \{ ||A|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} [/mm]?
> Ich meine da gilt [mm]||x|| = 1[/mm] würde [mm]||A|| = ||A|| \cdot ||x||[/mm]
> hinhauen, aber wegen [mm]||A|| \cdot ||x|| \ge ||Ax||[/mm] kann ich
> das ja auch nicht benutzen, oder?
> >
Ich habs Dir doch fast komplett vorgemacht !!!!!
Für x mit ||x||=1 ist $||ABx|| [mm] \le [/mm] ||AB||$
Dann folgt doch sofort:
$||AB|| = sup [mm] \{||ABx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le [/mm] ||AB||$
FRED
> > FRED
> > >
> LG
> fagottator
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> > > Die Matrixnorm hat die Eigenschaft:
> > >
> > > [mm]||Ax|| \le ||A||*||x||[/mm] für jedes x [mm]\in \IK^n[/mm]
> > >
> > > (das folgt sofort aus der Definition)
> > >
> > > Nimm nun ein x [mm]\in \IK^n[/mm] mit [mm]||x||=1[/mm]
> > >
> > > Dann:
> > >
> > > [mm]||ABx|| \le ||A||*||Bx|| \le ||A||*||B||*||x||= ||A||*||B||[/mm]
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> > > Jetzt Du:
> > >
> > > [mm]||AB||= sup .... \le ||A||*||B||[/mm]
> >
> > [mm]||AB|| = sup \{||ABx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le sup \{||A|| \cdot ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le sup \{ ||A|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \cdot sup \{ ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}[/mm]
> > (???) Jetzt würde ja [mm]sup \{ ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = ||B||[/mm]
> > passen, aber was mache ich mit [mm]sup \{ ||A|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} [/mm]?
> > Ich meine da gilt [mm]||x|| = 1[/mm] würde [mm]||A|| = ||A|| \cdot ||x||[/mm]
> > hinhauen, aber wegen [mm]||A|| \cdot ||x|| \ge ||Ax||[/mm] kann ich
> > das ja auch nicht benutzen, oder?
> > >
>
>
> Ich habs Dir doch fast komplett vorgemacht !!!!!
Warum denn so gereizt?!?
>
>
> Für x mit ||x||=1 ist [mm]||ABx|| \le ||AB||[/mm]
DAS ist mir klar!
>
> Dann folgt doch sofort:
>
>
> [mm]||AB|| = sup \{||ABx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le ||AB||[/mm]
Aber jetzt steht da doch [mm] ||AB|| \le ||AB|| [/mm]... Ist das denn das, was ich zeigen will? Ok, man könnte ergänzen [mm] ||AB|| \le ||AB|| \le ||A|| \cdot ||B|| [/mm]... Ich trau mich schon fast gar nicht weiter zu fragen...
>
> FRED
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>
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>
> > > FRED
> > > >
> > LG
> > fagottator
> >
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:38 Fr 25.02.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, also du hast $||ABx|| [mm] \le [/mm] ||A||*||B||$ [mm] (\*).
[/mm]
Dann ist doch $||AB|| [mm] \underbrace{=}_{Def}sup \{||ABx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \underbrace{\le}_{(\*)}sup \{||A||*||B|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}$. [/mm] Da der rechte Ausdruck hinter dem sup ganz unabhängig von x ist, folgt, dass dieser eben einfach nur $||A||*||B||$ ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Sa 26.02.2011 | | Autor: | fagottator |
Danke, jetzt hab ich endlich kapiert, warum das x wegfällt bzw. wegfallen kann.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:39 Sa 26.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > > Die Matrixnorm hat die Eigenschaft:
> > > >
> > > > [mm]||Ax|| \le ||A||*||x||[/mm] für jedes x [mm]\in \IK^n[/mm]
> > >
> >
> > > > (das folgt sofort aus der Definition)
> > > >
> > > > Nimm nun ein x [mm]\in \IK^n[/mm] mit [mm]||x||=1[/mm]
> > > >
> > > > Dann:
> > > >
> > > > [mm]||ABx|| \le ||A||*||Bx|| \le ||A||*||B||*||x||= ||A||*||B||[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Jetzt Du:
> > > >
> > > > [mm]||AB||= sup .... \le ||A||*||B||[/mm]
> > >
> > > [mm]||AB|| = sup \{||ABx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le sup \{||A|| \cdot ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le sup \{ ||A|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \cdot sup \{ ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}[/mm]
> > > (???) Jetzt würde ja [mm]sup \{ ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = ||B||[/mm]
> > > passen, aber was mache ich mit [mm]sup \{ ||A|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} [/mm]?
> > > Ich meine da gilt [mm]||x|| = 1[/mm] würde [mm]||A|| = ||A|| \cdot ||x||[/mm]
> > > hinhauen, aber wegen [mm]||A|| \cdot ||x|| \ge ||Ax||[/mm] kann ich
> > > das ja auch nicht benutzen, oder?
> > > >
> >
> >
> > Ich habs Dir doch fast komplett vorgemacht !!!!!
>
> Warum denn so gereizt?!?
> >
> >
> > Für x mit ||x||=1 ist [mm]||ABx|| \le ||AB||[/mm]
>
> DAS ist mir klar!
> >
> > Dann folgt doch sofort:
> >
> >
> > [mm]||AB|| = sup \{||ABx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le ||AB||[/mm]
Da hab ich mich verschrieben. .... [mm] \le [/mm] ||A||*||B||
>
> Aber jetzt steht da doch [mm]||AB|| \le ||AB|| [/mm]... Ist das denn
> das, was ich zeigen will? Ok, man könnte ergänzen [mm]||AB|| \le ||AB|| \le ||A|| \cdot ||B|| [/mm]...
> Ich trau mich schon fast gar nicht weiter zu fragen...
> >
> > FRED
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> > > > FRED
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> > > LG
> > > fagottator
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