versch. Näherungsverfahren < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:17 Mi 16.02.2005 | | Autor: | ddbk |
hi,
ich habe die ehre ein mathereferat über,
"Verschiedene Näherungsverfahren zum Lösen der Gleichung: [mm] x^3 [/mm] + x + 1 = 0"
zu halten.
da dieses themen(verfahren) leider noch nicht schulisch besprochen wurden, bin ich gezwungen durch bücher und internetrecherchen das thema zu erarbeiten(für die ganze klasse).
im grunde benötige ich nur informationen über die verschiedenen verfahren + eine lösung meiner rechnung.
momentan ich nur die regula falsi und das newtonsche-verfahren gefunden. gibt es noch mehr?
und wie verwende ich genau diese verfahren?
danke im vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 Fr 18.02.2005 | | Autor: | ddbk |
vielen dank erstmals.
also ich habe mir jetzt folgende 3verfahren herausgepickt.
Intervallschachtelung
Newton
&
Regula falsi
der newton war doch schon bekannt :), und ich konnte die aufgabe erfolgreich lösen(haben das ergebniss mit matheass geprüft).
jetzt hänge ich aber bei der intervallschachtelung.
hier einmal ein kleiner auszug, welcher soweit geht, wie ich momentan mit der "is" bin.
irgendwie habe ich einen rechen- denkfehler?
wähle ich das intervall falsch?
oder muss ich einen vorzeichenwechsel irgendwo beachten?
bitte um korrektur, da ich nicht auf das selbe ergebnis wie bei der newton-raphsonschen komme:
Gesucht sei die Lösung der Gleichung
[mm] x^3+x+1 [/mm] = 0
oder anders ausgedrückt: Gesucht ist eine Nullstelle der Funktion
f(x) = [mm] x^3+x+1
[/mm]
da die Funktion stetig ist und weil f(-1) = -1 < 0 und
f(0) = 1 > 0, liegt eine Nullstelle mit Sicherheit x=0 und x=1, also im Intervall [-1,0].
Wird nun f(-0,5) = [mm] (-0,5)^3+(-0,5)+1 [/mm] = 0,375 > 0 berechnet, so ergibt sich das
Intervall [0,4;0].
Aus f(0,2) = [mm] (0,2)^3+(0,2)+1 [/mm] = 1,208 > 0 ergibt sich das
Intervall [1;0].
Aus f(0,5) = [mm] (0,5)^3+(0,5)+1 [/mm] = 1,625
danke im vorraus
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> vielen dank erstmals.
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> also ich habe mir jetzt folgende 3verfahren
> herausgepickt.
>
> Intervallschachtelung
> Newton
> &
> Regula falsi
>
> der newton war doch schon bekannt :), und ich konnte die
> aufgabe erfolgreich lösen(haben das ergebniss mit matheass
> geprüft).
>
> jetzt hänge ich aber bei der intervallschachtelung.
>
> hier einmal ein kleiner auszug, welcher soweit geht, wie
> ich momentan mit der "is" bin.
> irgendwie habe ich einen rechen- denkfehler?
> wähle ich das intervall falsch?
> oder muss ich einen vorzeichenwechsel irgendwo beachten?
>
> bitte um korrektur, da ich nicht auf das selbe ergebnis wie
> bei der newton-raphsonschen komme:
>
> Gesucht sei die Lösung der Gleichung
> [mm]x^3+x+1[/mm] = 0
> oder anders ausgedrückt: Gesucht ist eine Nullstelle der
> Funktion
> f(x) = [mm]x^3+x+1
[/mm]
> da die Funktion stetig ist und weil f(-1) = -1 < 0 und
> f(0) = 1 > 0, liegt eine Nullstelle mit Sicherheit x=0 und
> x=1, also im Intervall [-1,0].
>
> Wird nun f(-0,5) = [mm](-0,5)^3+(-0,5)+1[/mm] = 0,375 > 0
> berechnet, so ergibt sich das
> Intervall [0,4;0].
sollte das nächste intervall nicht [-1;-0,6] ?
Gruss
Eberhard
>
> Aus f(0,2) = [mm](0,2)^3+(0,2)+1[/mm] = 1,208 > 0 ergibt sich das
>
> Intervall [1;0].
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> Aus f(0,5) = [mm](0,5)^3+(0,5)+1[/mm] = 1,625
>
> danke im vorraus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Sa 19.02.2005 | | Autor: | ddbk |
dankeschön.
das verfahren hab ich nun auch verinnerlicht :)
ich habe nun als näherung:
x = -0,68 erhalten.
eine weitere näherung ist angeblich nur durch polynomdivison + folgender quadratischer ergänzung möglich. gesagt getan.
meine polynomdivison ergibt:
[mm] (x^3+x+1) [/mm] / (x+0,68) = [mm] x^2-0,68x [/mm] + 914/625/x+0,68
was mich nun verwirrt ist der rest?
kann ich diesen getrost vergessen?
ich denke mal ja! bzw. hoffe es.
[mm] x^2-0,68x=0
[/mm]
wird dann qe?
danke im vorraus
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Hallo
Das Ergebnis ist wohl richtig .
Das Ergebnis aus deiner Polynomdivision hab ich nicht kontrolliert.
Das sollte ja nun die verbleibende Funktion sein und die sollte keine weitere Nullstelle haben.
Zeichne sie mal.
Die Polynomdivision dient nicht zur weiteren Präzisierung sondern zum Faktorisieren eines
Polynoms.
z.B.
[mm] (x-1)(x+1)(x+2) = x^3 + 2 \cdot x^2 -x -2 [/mm]
Probier mal mit der Funktion
[mm] x^3 + 2 \cdot x^2 -x -3 [/mm]
Da bekommst du auch einen Rest und der führt zu keiner weiteren Nullstelle,
da die Restfunktion nicht Null werden kann.
Gruss
Eberhard
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Sa 19.02.2005 | | Autor: | ddbk |
so die intervallschachtelung ist gegessen.
nun die nächste frage -> regula falsi
Zunächst wird wie bei den anderen zwei Näherungsverfahren das Intervall ermittelt durch probieren ermittelt. Intervall [-1;0,5]
f(x) = [mm] x^3+x+1
[/mm]
sei a = -1, und b = 0,5, dann ist f(a) = -1 < 0 und f(b) = 0,5 > 0.
eingesetzt in der Regula Falsi:
x´ = (-1 (-1)) * ((0,5 (-1)) / (1,625 (-1)))
Es ergibt sich
x´ = 0,5714258571
Man erhält durch einsetzen in f(x´) = 1,758017493, man setzt a = x´.
x´ = (1,76 8,21) * ((0,5 1,76) / ( 1,625- 8,21))
Es ergibt sich
x´ = -1,234168565
x´ = a
x´ = (-1,23 (-2,11) * ((0,5 (-1,23 ) / (1,625 (-2,11))
ich versteh hier nicht wie eine annäherung funktionieren soll?
oder setze ich das x´ falsch?
danke im vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:46 Di 22.02.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Beim Regula falsi ersetzt man $f(x)$ zwischen zwei nahe der Nullstelle liegenden Punkten [mm] $(x^{(i-1)},f(x^{(i-1)}))$ [/mm] und [mm] $(x^{(i)},f(x^{(i)}))$ [/mm] durch eine Gerade. Dann ist [mm] $x^{(i+1)}$ [/mm] die Nullstelle dieser Geraden.
Man erhält somit:
[mm] $x^{(i+1)} [/mm] = [mm] \frac{x^{(i)} f(x^{(i-1)}) - x^{(i-1)}f(x^{(i)})}{f(x^{(i-1)}) - f(x^{(i)})}$.
[/mm]
In der "Primitivform", die häufig in der Schule vermittelt wird, achtet man bei der Auswahl der Punkte [mm] $x^{(i)}$ [/mm] und [mm] $x^{(i-1)}$ [/mm] darauf, dass die Funktionswerte [mm] $f(x^{(i)})$ [/mm] und [mm] $f(x^{(i-1)})$ [/mm] entgegengesetztes Vorzeichen haben. Falls man allerdings die Konvergenz anders nachweisen kann, veschlechtert dies die Konvergenzgeschwindigkeit erheblich.
Ich sehe nicht, wie du dieses Verfahren angewendet hast. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Wo kommen denn z.B. die 1,625 her?
Viele Grüße
Julius
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Einfach Bekanntess noch einmal vorzutragen, wäre ja langweilig.
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Wikipedia
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