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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Sa 19.11.2011 | | Autor: | David90 |
| Aufgabe | Berechnen Sie die allgemeine Lösung [mm] \vec{y}(t) [/mm] der DGL
[mm] \bruch{d}{dt}\vec{y}(t)=\pmat{ 3 & -4 \\ 8 & -9 }\vec{y}(t). [/mm] |
Hi Leute,
also ich hab bis jetz folgendes aufgeschrieben:
Dies ist ein homogenens, lineares System 1. Ordnung von zwei DGL.
Bestimme die Eigenwerte:
[mm] det\pmat{ 3-\lambda & -4 \\ 8 & -9-\lambda }=(3-\lambda)(-9-\lambda)-(-4*8)=-27-3\lambda+9\lambda+\lambda^2+32=\lambda^2+6\lambda+5
[/mm]
Mit pq-Formel:
[mm] \lambda_{1/2}=-3 \pm \wurzel{9-5}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_{1}=-1 [/mm] und [mm] \lambda_{2}=-5
[/mm]
Eigenvektoren berechnen:
1) für [mm] \lambda=-1
[/mm]
[mm] \lambda*I*v=A*v [/mm] (I=Einheitsmatrix)
[mm] \gdw [/mm] (A+I)v=0
Kern (A+I) berechnen:
[mm] \gdw Kern\pmat{ 4 & -4 \\ 8 & -8 }
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{ 4 & -4 | 0\\ 8 & -8 | 0 }
[/mm]
[mm] \gdw \pmat{ 4 & -4 \\ 8 & -8 }\vektor{x_{1} \\ x_{2}}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
So und an der Stelle komm ich nicht weiter...geht als EV nicht nur die triviale Lösung oder seh ich das falsch? Wenn man versucht das Gleichungssystem zu lösen fallen immer [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] gleichzeitig weg...kann mir jemand helfen?
Gruß David
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Hallo David90,
> Berechnen Sie die allgemeine Lösung [mm]\vec{y}(t)[/mm] der DGL
> [mm]\bruch{d}{dt}\vec{y}(t)=\pmat{ 3 & -4 \\ 8 & -9 }\vec{y}(t).[/mm]
>
> Hi Leute,
> also ich hab bis jetz folgendes aufgeschrieben:
> Dies ist ein homogenens, lineares System 1. Ordnung von
> zwei DGL.
> Bestimme die Eigenwerte:
> [mm]det\pmat{ 3-\lambda & -4 \\ 8 & -9-\lambda }=(3-\lambda)(-9-\lambda)-(-4*8)=-27-3\lambda+9\lambda+\lambda^2+32=\lambda^2+6\lambda+5[/mm]
>
> Mit pq-Formel:
> [mm]\lambda_{1/2}=-3 \pm \wurzel{9-5}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \lambda_{1}=-1[/mm]
> und [mm]\lambda_{2}=-5[/mm]
> Eigenvektoren berechnen:
> 1) für [mm]\lambda=-1[/mm]
> [mm]\lambda*I*v=A*v[/mm] (I=Einheitsmatrix)
> [mm]\gdw[/mm] (A+I)v=0
> Kern (A+I) berechnen:
> [mm]\gdw Kern\pmat{ 4 & -4 \\ 8 & -8 }[/mm]
> [mm]\gdw \pmat{ 4 & -4 | 0\\ 8 & -8 | 0 }[/mm]
>
> [mm]\gdw \pmat{ 4 & -4 \\ 8 & -8 }\vektor{x_{1} \\ x_{2}}=\vektor{0 \\ 0}[/mm]
>
> So und an der Stelle komm ich nicht weiter...geht als EV
> nicht nur die triviale Lösung oder seh ich das falsch?
Die triviale Lösung zwar möglich, aber kein EV zum EW -1,
da es sich bei der trivialen Lösung um den Nullvektor handelt.
> Wenn man versucht das Gleichungssystem zu lösen fallen
> immer [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] gleichzeitig weg...kann mir jemand
> helfen?
Der EV genügt der Gleichung
[mm]4*x_{1}-4*x_{2}=0[/mm]
Hieraus ergibt sich doch, daß [mm]\pmat{1 \\ 1}[/mm] ein EV zum EW -1 ist.
> Gruß David
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:14 Sa 19.11.2011 | | Autor: | David90 |
Ohh man stimmt das is offensichtlich xD
ok also [mm] Kern\pmat{ 4 & -4 \\ 8 & -8 }
[/mm]
=span [mm] {\vektor{1 \\ 1}} [/mm]
D.h. die erste Lösung ist [mm] \vec{y}_{1}(t)=e^{-t}\vektor{1 \\ 1}.
[/mm]
2) [mm] \lambda=-5
[/mm]
[mm] \lambda*I*v=A*v
[/mm]
[mm] \gdw (A-\lambda*I)v=0
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] (A+5I)v=0
Berechne Kern(A+5I)
[mm] Kern\pmat{ 8 & -4 \\ 8 & -4 }
[/mm]
=span [mm] {\vektor{1 \\ 2}}
[/mm]
Also ist [mm] \vec{y}_{2}(t)=e^{-5t}\vektor{1 \\ 2}
[/mm]
Die allgemeine Lösung lautet:
[mm] \vec{y}_{allgemein}(t)=c_{1}*e^{-t}\vektor{1 \\ 1}+c_{2}*e^{-5t}\vektor{1 \\ 2} c_{1},c_{2} \in [/mm] IR
Damit müsste die Aufageb gelöst sein oder?:)
Gruß David
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Hallo David90,
> Ohh man stimmt das is offensichtlich xD
> ok also [mm]Kern\pmat{ 4 & -4 \\ 8 & -8 }[/mm]
> =span [mm]{\vektor{1 \\ 1}}[/mm]
> D.h. die erste Lösung ist [mm]\vec{y}_{1}(t)=e^{-t}\vektor{1 \\ 1}.[/mm]
>
> 2) [mm]\lambda=-5[/mm]
> [mm]\lambda*I*v=A*v[/mm]
> [mm]\gdw (A-\lambda*I)v=0[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] (A+5I)v=0
> Berechne Kern(A+5I)
> [mm]Kern\pmat{ 8 & -4 \\ 8 & -4 }[/mm]
> =span [mm]{\vektor{1 \\ 2}}[/mm]
>
> Also ist [mm]\vec{y}_{2}(t)=e^{-5t}\vektor{1 \\ 2}[/mm]
> Die
> allgemeine Lösung lautet:
> [mm]\vec{y}_{allgemein}(t)=c_{1}*e^{-t}\vektor{1 \\ 1}+c_{2}*e^{-5t}\vektor{1 \\ 2} c_{1},c_{2} \in[/mm]
> IR
> Damit müsste die Aufageb gelöst sein oder?:)
Ja, damit ist die Aufgabe gelöst. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Gruß David
Gruss
MathePower
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