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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Mo 22.11.2010 | | Autor: | emulb |
| Aufgabe | Es seien V ein Vektorraum über [mm] \IR [/mm] und T =(a1,...an) [mm] \subset [/mm] V eine Basis von V. Wir definieren an+1 := [mm] -\summe_{\nu=1}^{n} a\nu.
[/mm]
Zeige: Jeder a [mm] \in [/mm] V besitz eine eindeutige Darstellung der Form
[mm] a=\summe_{\nu =1}^{n+1}\alpha \nu [/mm] a [mm] \nu [/mm] mit [mm] \alpha1,...,\alpha [/mm] n+1 [mm] \in \IR [/mm] und [mm] \summe_{\nu =1}^{n+1}\alpha \nu [/mm] = 0 |
laut prof soll ich nach der existens schauen. meint er damit, dass ich nachschauen soll ob T eine Basis von V ist? aber es steht ja schon dran. Muss ich es vielleicht beweisen?
hat es mit "unverkürbar" oder "unverlängerbar" zu tun?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:03 Mo 22.11.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
bezüglich der Basis T hat jeder Vektor a [mm] \in [/mm] V eine eindeutige Darstellung der Form
a = [mm] \beta_1*a_1 [/mm] + [mm] \beta_2*a_2 [/mm] + ... + [mm] \beta_n*a_n [/mm] bzw. in Spaltenschreibweise
a = [mm] \vektor{\beta_1 \\ \beta_2 \\ ... \\ \beta_n} [/mm] = [mm] \beta_1*\vektor{1 \\ 0 \\ ... \\ 0} [/mm] + [mm] \beta_2*\vektor{0 \\ 1 \\ ... \\ 0} [/mm] + ... + [mm] \beta_n*\vektor{0 \\ 0 \\ ... \\ 1} [/mm]
Der Vektor [mm] a_{n+1} [/mm] hat die Darstellung [mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ ... \\ -1}
[/mm]
Außerdem soll die Gleichung [mm] \alpha_1 [/mm] + [mm] \alpha_2 [/mm] + ... + [mm] \alpha_n [/mm] + [mm] \alpha_{n+1} [/mm] = 0 gelten, so dass in einem (n+1)-dimensionalen Vektorraum die Gleichung
[mm] \vektor{\beta_1 \\ \beta_2 \\ ... \\ \beta_n \\ 0} [/mm] = [mm] \alpha_1*\vektor{1 \\ 0 \\ ... \\ 0 \\ 1} [/mm] + [mm] \alpha_2*\vektor{0 \\ 1 \\ ... \\ 0 \\ 1} [/mm] + ... + [mm] \alpha_n*\vektor{0 \\ 0 \\ ... \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \alpha_{n+1}*\vektor{-1 \\ -1 \\ ... \\ -1 \\ 1}
[/mm]
zu lösen ist.
Die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung ergibt sich, wenn du zeigst, dass die n+1 Vektoren auf der rechten Seite dieser Gleichung linear unabhängig sind.
Gruß Sax.
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