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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:14 Mi 28.09.2005 | | Autor: | nina182 |
leider ist bei mir schon wieder ein kleines problem aufgetaucht, vielleicht weiß ja einer von euch wie das funktioniert und kann mir es an einer der teilaufgabend erklären.....
geben sie jeweils drei linear unabhängige vektoren
a) des vektorraums der polynome maximal 5. grades,
b) des vektorraums der reellen zahlenfolge,
c) des vektorraums der 4x4-matrizen an.
wäre lieb wenn mir das jemand näher bringen könnte...
lg nina
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Mi 28.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Nina!
Alle Betrachtungen fußen auf Betrachtungen der Komponenten/Koeffizienten.
Zwei Polynome sind genau dann gleich, wenn alle Koeffizienten gleich sind.
Zwei Folgen sind genau dann gleich, wenn alle Folgenglieder gleich sind.
Zwei Matrizen sind genau dann gleich, wenn alle Matrixeinträge gleich sind.
Jetzt bleiben wir mal bei den Matrizen und betrachten eine Linearkombination der drei Matrizen [mm] $\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}$, $\pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}$ [/mm] und [mm] $\pmat{0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}$, [/mm] die die Nullmatrix ergibt:
[mm] $\lambda_1 \cdot \pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot \pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] + [mm] \lambda_3 \cdot \pmat{0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] = [mm] \pmat{0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}$.
[/mm]
Zu zeigen ist -um die lineare Unabhängigkeit der drei gewählten Matrizen nachzuweisen-
[mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3=0$.
[/mm]
Nach Definition der Matrizenaddition und skalaren Multiplikation bedeutet diese obige Gleichheit aber:
[mm] $\pmat{\lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0} [/mm] = [mm] \pmat{0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}$.
[/mm]
Und jetzt kommt der "Trick":
Zwei Matrizen sind genau dann gleich, wenn alle Matrixeinträge gleich sind.
Daraus folgt aber:
[mm] $\lambda_1 [/mm] = 0$, [mm] $\lambda_2=0$ [/mm] und [mm] $\lambda_3=0$,
[/mm]
wie behauptet.
Die drei Matrizen [mm] $\pmat{1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}$, $\pmat{0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}$ [/mm] und [mm] $\pmat{0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0}$ [/mm] sind linear unabhängig.
Genauso (!) geht es mit den Polynomen und den Zahlenfolgen.
Versuche es mal! 
Liebe Grüße aus Bonn
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Mi 28.09.2005 | | Autor: | nina182 |
hallo stefan,
vielen dank für die hilfe, das mit den matrizen hab ich jetzt auch verstanden, aber aus den beiden anderen sachen werd ich noch nicht so recht schlau.... könntest du mir da noch mal en tipp für einen ansatz geben???
lg nina
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Hallo Nina!
> vielen dank für die hilfe, das mit den matrizen hab ich
> jetzt auch verstanden, aber aus den beiden anderen sachen
> werd ich noch nicht so recht schlau.... könntest du mir da
> noch mal en tipp für einen ansatz geben???
Also bei den Polynomen könntest du z. B. das Polynome [mm] x^5, x^4 [/mm] und [mm] x^3 [/mm] nehmen. Oder probiere es doch mal mit ein paar anderen Polynomen. Wahrscheinlich hat dich nur die Aufgabenstellung etwas verwirrt, da du Vektoren normalerweise als [mm] \vektor{1\\2\\3} [/mm] kennst. In Stefans Beispiel war dann aber eine Matrix ein Element des Vektorraums, also ein Vektor, hier ist es jetzt ein Polynom.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:24 Do 29.09.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Nina!
Betrachte die drei reellen Zahlenfolgen
[mm] $(1,0,0,\ldots)$, [/mm] $(0,1,0,0, [mm] \ldots)$ [/mm] und $(0,0,1,0,0, [mm] \ldots)$.
[/mm]
Behauptung: Sie sind linear unabhängig!
Es seien [mm] $\lambda_1,\, \lambda_2,\, \lambda_3 \in \IR$ [/mm] gegeben mit
(*) [mm] $\lambda_1 \cdot (1,0,0,\ldots) [/mm] + [mm] \lambda_2 \cdot [/mm] (0,1,0,0, [mm] \ldots) [/mm] + [mm] \lambda_3 \cdot [/mm] (0,0,1,0,0, [mm] \ldots) [/mm] = [mm] (0,0,\ldots)$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3=0$.
[/mm]
Nach den Rechenregeln im Vektorraum der reellen Zahlenfolgen bedeutet (*) aber (beachte, dass die Addition und skalare Multiplikation komponentenweise definiert ist):
[mm] $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3,0,0,\ldots) [/mm] = [mm] (0,0,0,0,\ldots)$.
[/mm]
Nun sind aber zwei reelle Zahlenfolgen genau dann gleich, wenn sie komponentenweise übereinstimmen.
Daraus folgt insbesondere
[mm] $\lambda_1 [/mm] = [mm] \lambda_2 [/mm] = [mm] \lambda_3=0$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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