vektorielle Geometrie < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Mi 26.03.2008 | | Autor: | lele |
| Aufgabe | Dreieckspyramide
Gegeben sind die Punkte
A( - 6 ; 8 ; 7 ) , B( - 3 ; - 4 ; 4 ) , C( 1 ; - 8 ; 6 ) und D( 9 ; - 4 ; - 2 ) .
a) Ermitteln Sie die Koordinatenform der Ebene E, die durch die drei Punkte A, B
und C gegeben ist. ( mögliches Ergebnis: 2x + y 2z = - 18 )
b) Geben Sie die Schnittpunkte Sx, Sy und Sz der Ebene E mit den
Koordinatenachsen an und zeichnen Sie das Dreieck SxSySz in ein
Koordinatensystem ein.
( 1 LE @ 0,5 cm, Verkürzungsfaktor in x-Richtung 2
2
1 × )
c) Zeigen Sie, dass der Punkt D außerhalb der Ebene E liegt und berechnen Sie
den Abstand des Punktes D von der Ebene E.
d) Ermitteln Sie die Koordinaten des Punktes D, den man durch Spiegelung des
Punktes D an der Ebene E erhält. |
Bis Nr. c) weiß ich wie es geht, aber wie macht man das bei d) ???
danke
# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Denny22 |
Hallo,
ich gebe Dir mal einen Veranschaulichung:
1) Zunächst suchst du dir einen Vektor der orthogonal (d.h. senkrecht) auf der Ebene steht.
2) Anschließend Konstruierst du dir damit eine Gerade, indem du den Punkt D als Aufpunkt (Stützvektor) wählst und diesen orthogonalen Vektor aus 1) als Richtungsvektor verwendest.
[3) Berechne nun den Schnittpunkt der Geraden und der Ebene. ]
4) Setze diesen Schnittpunkt gleich Deiner Geraden und ermittel den Streckungsterm der Geraden.
5) Wenn Du diesen Wert hast (ich nenne ihn jetzt [mm] $\lambda$) [/mm] so nimmst Du deine Geradengleichung aus 2) und setzt den Streckungsterm [mm] $2\cdot\lambda$ [/mm] dort ein. Der Vektor ist die gesucht Spiegelung
Gruß
Verbesserung: Lasse Schritt 3) fort.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:18 Mi 26.03.2008 | | Autor: | lele |
bis 3) verstehe ich, aber wieso soll ich dann den schnittpunkt gleich der geraden setzen??? hab ich gerade gemacht dann komm ich wieder auf das t, das ich vorher ausgerechnet hatte un dann in die geradengleichung eingesetzt hab um den Schnittpunkt rauszubekommen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Wenn du eine Gerade g mit D als Aufpunkt und einem zur Ebene orthogonalen Richtungsvektor aufgestellt hast, lässt du diese nun mit der Ebene schneiden; du hast schon Recht, dass du beim Schneiden bereits den Wert für t erhälst; somit wäre der Schritt 3) "überflüssig".
Da greifst du den Wert des Parameters aus der Geradengleichung einfach nur noch einmal auf.
Setze nun 2*t in die Geradengleichung ein, damit D nun den identischen Zustand zur Ebene hat wie D'. Da beide auf einer zur Ebene orthogonalen Geraden liegen, haben beide nun eine identische Lage zur Ebene, sie wurden daran gespiegelt.
Zeichne es dir am besten mal im 2D auf; dann fällt es dir evtl. leichter das ganze auch mal vor Augen zu haben.
Lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:31 Mi 26.03.2008 | | Autor: | lele |
okay, alles klar. hab ich gerade gemacht und komm jetz auch auf das ergebnis. aber nochmal zu dem 2t - warum 2 ? ist das formel für ne spiegelung? kenn ich nich...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo!
Es ist gar keine "feste Formel"; es ist nur eine gewisse Logik :)
Du weißt ja, dass ein Vektor eine bestimmte Länge hat; am besten ist es, wenn man hier die Abstraktion von Vektoren vornimmt und sie sich als "Pfeile im Raum vorstellt".
Daher solltest du es ja auch mal zeichnen; wenn du das gemacht hast siehst du, dass z.B. vom Punkt D der Abstand zur Ebene 3 LE hat.
Das Prinzip einer Spiegelung besteht ja darin, dass der Punkt nun wieder im gleichen Verhältnis zur Ebene auf die andere Seite gebracht wird.
Da wir uns auf einer orthogonalen Geraden bewegen, kann man also einfach "die doppelte Strecke zurücklegen"; es ist, als würden wir nochmal von der Ebene aus 3 LE abmessen und den Punkt dort abtragen.
Während wir also beim Einsetzen von t in die Geradengleichung die einfache Strecke zurücklegen, nämlich von D zur Ebene, müssen wir nochmal diese Strecke t zurücklegen, um zu D' zu kommen; der Abstand von der Ebene zu D' ist auch wieder t*Richtungsvektor.
Statt, dass man nun vom Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene nochmal t einsetzt, geht man einfach direkt von D aus 2*t*Richtungsvektor, um direkt zu D' zu kommen.
Naja, ich kann dir nur nochmal eine Zeichnung ans Herz legen :D
Hoffe trotzdem, dass ich dir das ein wenig näherbringen konnte.
Lg
|
|
|
|
