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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:14 Mo 02.05.2005 | | Autor: | doener |
aufgabe:
bestimmen sie den vektor n = [mm] \vektor{x \\ y\\z} \in \IR^{3} [/mm] mit folgenden eigenschaften:
1) n steht senkrechta auf a = [mm] \vektor{2 \\ 3\\1} [/mm] und b = [mm] \vektor{-4 \\ 8\\4}
[/mm]
2) [mm] \parallel [/mm] n [mm] \parallel [/mm] = 1
mein ansatz:
wenn 2 vektoren senkrecht stehen ist das skalarprodukt 0, also:
<a,n> = 2x + 3y -z = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] z = 2x + 3y
<b,n> = -4x + 8y -4z = 0 [mm] \gdw [/mm] -1 + 2y -z = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] z = -x + 2y
[mm] \Rightarrow [/mm] 2x + 3y = -x + 2y [mm] \Rightarrow [/mm] 3x = -y oder y = -3x
2. hinweis:
[mm] \parallel [/mm] n [mm] \parallel [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow \wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}=1
[/mm]
[mm] \Rightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2} [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] z = [mm] \wurzel{1 - x^{2} + y^{2}}
[/mm]
mein problem ist nun das weitere auflösen der gleichungen, irgendwie hats da zuviele quadrate, bin froh um lösungsvorschläge.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Mo 02.05.2005 | | Autor: | Herby |
Hallo Jonas,
du bist mit der Aufgabe 1 noch nicht fertig gewesen, daher die quadratischen Parameter in 2.
Also: Dein Gleichungssystem in 1 hat unendlich viele Lösungen, da jedes Vielfache eines bestimmten Normalenvektors [mm] \vec{n} [/mm] einen Vektor ergibt, der auch senkrecht zur Ebene steht.
Daher kannst du einen Parameter, in deiner bis jetzt überbestimmten Gleichung, frei wählen.
In deinem Fall würde ich x=(-1) nehmen, dann kannst du die anderen Parameter errechnen.
lg Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:37 Mo 02.05.2005 | | Autor: | doener |
hallo herbie
ich glaube du hast die aufgabe falsch verstanden: es geht nicht darum 2 mal eine solchen vektor n zu finden, sondern einen, der die bedingungen 1) und 2) gleichzeitig erfüllt!
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Hallo doener!
Am Ende deiner Rechnung könntest du tatsächlich eine Variable setzen (zum Beispiel x=1), damit die anderen beiden berechnen und den so gefundenen Vektor auf 1 normieren.
Andererseits führen dich deine Gleichungen
$z=-x+2y,\ y=-3x$ auf [mm] $z=-7x=\sqrt{1-x^2-9x^2}=\sqrt{1-10x^2}$.
[/mm]
Das führt auf [mm] $49x^2=1-10x^2$ [/mm] und [mm] $x^2=1/59$. [/mm] Jetzt wählst du [mm] $x=-\bruch{1}{\sqrt{59}}$ [/mm] und kommst so auf den Lösungsvektor. Allerdings gibt es zwei Vektoren, die senkrecht auf a und b stehen, da $-n$ wieder eine Lösung ist.
Als Ergebnis kommt jedenfalls [mm] $n=\pm\bruch{1}{\sqrt{59}}\vektor{1\\-3\\7}$ [/mm] raus...
Am allereinfachsten wäre es aber, das Kreuzprodukt von a und b zu bilden und dieses auf 1 zu normieren. Aber das scheint irgendwie nicht das Ziel der Aufgabenstellung zu sein...
Gruß, banachella
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:19 Mo 02.05.2005 | | Autor: | doener |
besten dank!
habe noch eine frage zu deier idee, das mit dem kreuzprodukt zu lösen:
habe das kreuzprodukt a [mm] \times [/mm] b ausgerechnet, es gibt [mm] \vektor{4 \\ -12\\28}
[/mm]
du hast gesagt man müsste das nun auf 1 normieren, wie ginge das??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:46 Di 03.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo doener!
Möglichkeit 1:
Man rechnet stur mit der Längenformel aus:
[mm] $\Vert [/mm] x [mm] \Vert [/mm] = [mm] \sqrt{4^2 + (-12)^2 + 28^2} [/mm] = [mm] \sqrt{16 + 144+ 784} [/mm] = [mm] \sqrt{944} [/mm] = 4 [mm] \cdot \sqrt{59}$
[/mm]
und erhält dann für den normierten Vektor:
[mm] $\vec{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{4 \cdot \sqrt{59}} \cdot \pmat{4 \\ -12 \\ 28} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{59}} \cdot \pmat{ 1 \\ -3 \\ 7}$.
[/mm]
Möglichkeit 2:
Man zieht erst die $4$ raus und erhält wegen
[mm] $\sqrt{1^2 + (-3)^2 + 7^2} [/mm] = [mm] \sqrt{59}$
[/mm]
dann sofort
[mm] $\vec{n} [/mm] = [mm] \frac{1}{\sqrt{59}} \cdot \pmat{ 1 \\ -3 \\ 7}$.
[/mm]
Viele Grüße
Stefan
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