\varepsilon-\delta für Wurzel < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:28 Mo 01.12.2008 | | Autor: | wee |
| Aufgabe | f: [mm] \IR \rightarrow \IR, [/mm] f(x):= [mm] \wurzel{|x|}
[/mm]
Gebe explizit für [mm] x_{0} \in [/mm] {0,1} zu [mm] \varepsilon [/mm] >0 ein [mm] \delta [/mm] >0 an, so dass aus [mm] |x-x_{0}|< \delta [/mm] folgt [mm] |f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon [/mm] |
Hallo,
für [mm] x_{0}=0 [/mm] habe ich schon alles gezeigt, da ist dann für [mm] \varepsilon [/mm] >0 [mm] |f(x)-f(0)|=\wurzel{|x|}< \varepsilon \gdw |x-0|<\varepsilon^2
[/mm]
[mm] \Rightarrow \delta \le \varepsilon^2
[/mm]
Bei [mm] x_{0}=1 [/mm] komme ich überhaupt nicht zurecht. :-(
Man hat ja dann [mm] |\wurzel{|x|}-1| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] und muss das umformen zu |x-1|< [mm] \delta(\varepsilon).
[/mm]
Nur wie kann man das möglichst schnell und ohne vielen Fallunterscheidungen für x machen? Weil ja die Wurzel vom Betrag genommen wird, muss man ja auch alle x<0 betrachten.
Ich bin für jede Hilfe dankbar
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Mo 01.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> f: [mm]\IR \rightarrow \IR,[/mm] f(x):= [mm]\wurzel{|x|}[/mm]
>
> Gebe explizit für [mm]x_{0} \in[/mm] {0,1} zu [mm]\varepsilon[/mm] >0 ein
> [mm]\delta[/mm] >0 an, so dass aus [mm]|x-x_{0}|< \delta[/mm] folgt
> [mm]|f(x)-f(x_{0})|< \varepsilon[/mm]
> Hallo,
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> für [mm]x_{0}=0[/mm] habe ich schon alles gezeigt, da ist dann für
> [mm]\varepsilon[/mm] >0 [mm]|f(x)-f(0)|=\wurzel{|x|}< \varepsilon \gdw |x-0|<\varepsilon^2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \delta \le \varepsilon^2[/mm]
>
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> Bei [mm]x_{0}=1[/mm] komme ich überhaupt nicht zurecht. :-(
> Man hat ja dann [mm]|\wurzel{|x|}-1|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] und muss
> das umformen zu |x-1|< [mm]\delta(\varepsilon).[/mm]
>
> Nur wie kann man das möglichst schnell und ohne vielen
> Fallunterscheidungen für x machen? Weil ja die Wurzel vom
> Betrag genommen wird, muss man ja auch alle x<0
> betrachten.
Nein. Es geht doch um das Verhalten von f in der Nähe von 1. Da kannst Du getrost x>0 annehmen.
FRED
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> Ich bin für jede Hilfe dankbar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:50 Mo 01.12.2008 | | Autor: | wee |
Danke für die schnelle Hilfe, aber ein bisschen drüber reden müssen wir schon noch ;)
Also: o.B.d.A. x [mm] \ge [/mm] 0
1. Fall: [mm] x\ge [/mm] 1 [mm] \Rightarrow |\wurzel{|x|}-1|=\wurzel{|x|}-1<\varepsilon \gdw |x|<(\varepsilon+1)^2 \gdw [/mm] x-1< [mm] \varepsilon^2+2\varepsilon
[/mm]
2. Fall: [mm] x\le [/mm] 1 [mm] \Rightarrow |\wurzel{|x|}-1|=-\wurzel{|x|}+1<\varepsilon \gdw |x|<(\varepsilon-1)^2 \gdw [/mm] x-1< [mm] \varepsilon^2-2\varepsilon<\varepsilon^2+2\varepsilon
[/mm]
Weil jetzt aber x<1 ist, kann ich ja nicht einfach den links Betrag nehmen, sondern müsste mit -1 multiplizieren, damit ich links |x-1| stehen habe. Das macht dann aber die gesamt Ungleichung kaput, weil ich ja den Betrag nach oben abschätzen muss.
Wie komme ich da also weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Mo 01.12.2008 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die schnelle Hilfe, aber ein bisschen drüber
> reden müssen wir schon noch ;)
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> Also: o.B.d.A. x [mm]\ge[/mm] 0
>
> 1. Fall: [mm]x\ge[/mm] 1 [mm]\Rightarrow |\wurzel{|x|}-1|=\wurzel{|x|}-1<\varepsilon \gdw |x|<(\varepsilon+1)^2 \gdw[/mm]
> x-1< [mm]\varepsilon^2+2\varepsilon[/mm]
>
> 2. Fall: [mm]x\le[/mm] 1 [mm]\Rightarrow |\wurzel{|x|}-1|=-\wurzel{|x|}+1<\varepsilon \gdw |x|<(\varepsilon-1)^2 \gdw[/mm]
> x-1< [mm]\varepsilon^2-2\varepsilon<\varepsilon^2+2\varepsilon[/mm]
>
Wie kommt das vorletzte " [mm] \gdw" [/mm] zustande ??
[mm] -\wurzel{|x|} [/mm] ist negativ ! was passiert in der Ungleichung wenn Du das quadrierst ?
FRED
> Weil jetzt aber x<1 ist, kann ich ja nicht einfach den
> links Betrag nehmen, sondern müsste mit -1 multiplizieren,
> damit ich links |x-1| stehen habe. Das macht dann aber die
> gesamt Ungleichung kaput, weil ich ja den Betrag nach oben
> abschätzen muss.
>
> Wie komme ich da also weiter?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:34 Mo 01.12.2008 | | Autor: | wee |
> > 2. Fall: [mm]x\le[/mm] 1 [mm]\Rightarrow |\wurzel{|x|}-1|=-\wurzel{|x|}+1<\varepsilon \gdw |x|<(\varepsilon-1)^2 \gdw[/mm]
> > x-1< [mm]\varepsilon^2-2\varepsilon<\varepsilon^2+2\varepsilon[/mm]
> >
>
>
> Wie kommt das vorletzte " [mm]\gdw"[/mm] zustande ??
>
> [mm]-\wurzel{|x|}[/mm] ist negativ ! was passiert in der Ungleichung
> wenn Du das quadrierst ?
>
> FRED
Also da bin ich jetzt ein bisschen überfragt. Links wird durch das quadrieren unteranderen mit -1 multipliziert. Rechts allerdings wird durch das quadrieren nicht mit -1 multipliziert. Wie sich dann das Ungleichheitszeichen verhält, weiss ich nicht.
Ich dachte dann wird aus -*- auch wieder +
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Mi 03.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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