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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - v. Lösung DGL 1. Odnung finden
v. Lösung DGL 1. Odnung finden < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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v. Lösung DGL 1. Odnung finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 Mi 05.04.2006
Autor: DerTom

Aufgabe 1
(a) Geben Sie eine Differenzialgleichung erster Ordnung an, deren Lösungen
die Funktionen f(x) = a · e^x2 · cos(x), a ∈ R, sind.

Aufgabe 2
(b) Ermitteln Sie diejenige Löosung y = f(x) der in (a) gefundenen Differenzialgleichung, die der Anfangsbedingung y(0) = 5 genügt.

Ich weiß einfach nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll. Ich bitte um hilfe :D.

Danke euch.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Der Tom
        
Bezug
v. Lösung DGL 1. Odnung finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:44 Mi 05.04.2006
Autor: Astrid

Hallo Tom,

und [willkommenmr]!

> (a) Geben Sie eine Differenzialgleichung erster Ordnung an,
> deren Lösungen
>  die Funktionen f(x) = a · e^x2 · cos(x), a ∈ R,
> sind.
>  (b) Ermitteln Sie diejenige Löosung y = f(x) der in (a)
> gefundenen Differenzialgleichung, die der Anfangsbedingung
> y(0) = 5 genügt.

>  Ich weiß einfach nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen
> soll. Ich bitte um hilfe :D.

Wie liegt denn hier dein Problem? Du kennst ja die Funktion, also kennst du auch die erste Ableitung der Funktion. Nun sollst du eine DGL aufstellen, die diese Funktion erfüllt, also zum Beispiel irgendeine Gleichung der Form:

[mm]f'(x)=p(x)f(x)+q(x)[/mm]

wobei du [mm] p(x)[/mm] und [mm] q(x)[/mm] so wählst, dass die Gleichung erfüllt ist (falls das geht.... ;-)).

In der zweiten Aufgabe mußt du dann ja nur noch in f einsetzen!

Viele Grüße
Astrid
Bezug
                
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v. Lösung DGL 1. Odnung finden: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Mi 05.04.2006
Autor: DerTom

Naja die 1. Ableitung wäre meiner Meinung nach ja:

y' = a * e^(x²) * (-2x - sin x)

so, aber mit dem Finden ger Gleichung, wie du es gesagt hast, da steig ich noch nicht wirklich durch - ob du mir bitte noch eine Hilfestellung geben könntest?

Danke dir :D
Der Tom
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Bezug
v. Lösung DGL 1. Odnung finden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:57 Mi 05.04.2006
Autor: Astrid

Hallo Tom,

> y' = a * e^(x²) * (-2x - sin x)

Das solltest du dir aber nochmal genauer anschauen, wo kommt denn das negative Vorzeichen vor $2x$ her? Außerdem fehlt im ersten Term der Kosinuns.

Mal angenommen, die Ableitung sei ;-)

[mm]f'(x)=2x \cdot a e^{x^2} \cos(x) - a e^{x^2} \sin(x)[/mm]

Dann steht da doch:

[mm]f'(x)=2x \cdot \red{a e^{x^2} \cos(x)} - a e^{x^2} \sin(x)=2x \cdot \red{f(x)} - a e^{x^2} \sin(x)[/mm].

Machts Klick [lichtaufgegangen]? ;-)

Viele Grüße
Astrid
Bezug
                                
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v. Lösung DGL 1. Odnung finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:09 Mi 05.04.2006
Autor: DerTom

Hiho,

erstmal vielen Dank für die Antwort :D.
Also das mit dem Minus das war schon richtig so - das Copy&Paste aus dem PDF hat nur nich ganz geklappt, eig, war folgende Lösung gegeben:

f(x) = a * e^(-x²) * cos (x)

Das cos (x) hatte ich dennoch vergessen, das stimmt ^^.

Das Prinzip ist mir jetzt klar geworden, vielen dank.

Die "Lösung" (also die DGL) wäre also y' = -2x * y - a * e^(-x²) * sin (x)
oder?

Diese Lösungsform F'(x) = p(x) * f(x) + q(x) - gibts da noch mehr oder ist diese recht allgemeingültig?

Bei (b) brauch ich ja eig. nur einsetzen da ich die Lösung der DGL ja schon habe, oder?
Nur steht dann bei y(0) = 5 da:

y' = -2 * 0 * 5 - a * e^(-0²) * sin 0
y' = 0

Hm,  so richtig komm ich da auf kein a ;).
Oder hab ich da wieder was falsch verstanden?

Hach das Semester hat ja gerade erst begonnen und schon stellt man fest dass man die erste Mathe-Vorlesung in dem Semester noch nichmal halb verstanden hat *g*

Danke
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v. Lösung DGL 1. Odnung finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:40 Mi 05.04.2006
Autor: Astrid

Hallo Tom,

> Die "Lösung" (also die DGL) wäre also y' = -2x * y - a *
> e^(-x²) * sin (x)
>  oder?

[ok]

>  
> Diese Lösungsform F'(x) = p(x) * f(x) + q(x) - gibts da
> noch mehr oder ist diese recht allgemeingültig?
>  

Da gibts viele! Aber: Du mußt einfach nur schauen, wie das f selbst in seiner Ableitung wieder drin steckt und den Rest einfach addieren/multiplizieren etc. Das ist bei jeder DGL verschieden.

> Bei (b) brauch ich ja eig. nur einsetzen da ich die Lösung
> der DGL ja schon habe, oder?
>  Nur steht dann bei y(0) = 5 da:
>  
> y' = -2 * 0 * 5 - a * e^(-0²) * sin 0
>  y' = 0
>  
> Hm,  so richtig komm ich da auf kein a ;).
>  Oder hab ich da wieder was falsch verstanden?

Es steht dort: [mm]y(0)=5[/mm], also

[mm]y(0)=a \cdot e^{-0^2} \cos(0)=a=5[/mm] :-)

Viele Grüße
Astrid
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v. Lösung DGL 1. Odnung finden: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:31 Mi 05.04.2006
Autor: DerTom

Hallo,

nochmal vielen Dank, hab alles verstanden :).
Ist echt toll wie gut und schnell man hier Hilfe bekommt.

Tschau
Tom
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