unzerlegbar folgt nicht prim < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 So 06.11.2011 | | Autor: | briddi |
| Aufgabe | | Unzerlegbare Elemente müssen nicht prim sein. |
Hallo,
ich versuche gerade die Vorlesung nachzuarbeiten und komme hier leider nicht weiter. Als Beweis dieser Aussage wird lediglich das "Standardbeispiel" angeführt:
In [mm] \IZ[\wurzel{-5}] [/mm] ist [mm] 6=2*3=(1+\wurzel{-5}) *(1-\wurzel{-5})
[/mm]
Ich verstehe, dass man die 6 auf diese beiden Weisen darstellen kann, aber wieso ist das ein Beweis für die Aussage?
Danke,
briddi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:21 So 06.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin briddi!
> ich versuche gerade die Vorlesung nachzuarbeiten und komme
> hier leider nicht weiter. Als Beweis dieser Aussage wird
> lediglich das "Standardbeispiel" angeführt:
> In [mm]\IZ[\wurzel{-5}][/mm] ist [mm]6=2*3=(1+\wurzel{-5}) *(1-\wurzel{-5})[/mm]
>
> Ich verstehe, dass man die 6 auf diese beiden Weisen
> darstellen kann, aber wieso ist das ein Beweis für die
> Aussage?
Du kannst zeigen, dass 2, 3, $1 + [mm] \sqrt{-5}$, [/mm] $1 - [mm] \sqrt{-5}$ [/mm] irreduzibel und paarweise nicht assoziiert sind.
Wenn eins davon prim wär, sagen wir mal 2, dann gilt ja $2 [mm] \mid [/mm] 6 = (1 + [mm] \sqrt{-5}) [/mm] (1 - [mm] \sqrt{-5})$. [/mm] Jedoch kann 2 keinen der beiden Faktoren $1 + [mm] \sqrt{-5}$ [/mm] und $1 - [mm] \sqrt{-5}$ [/mm] teilen (da sie alle irreduzibel und paarweise nicht assoziiert sind).
Damit folgt dann, dass 2, 3, $1 + [mm] \sqrt{-5}$ [/mm] und $1 - [mm] \sqrt{-5}$ [/mm] alle nicht prim sind, jedoch irreduzibel.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Di 08.11.2011 | | Autor: | briddi |
Danke, hab ich jetzt verstanden.
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