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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:07 Do 08.12.2005 | | Autor: | LenaFre |
Hallo zusammen!
Wir haben in dieser Woche in unserer Vorlesung die Begrisse Vektorraum und Untervektorraum eingeführt.
Jetzt liegen mir folgende Übungsaufgaben vor:
a) [mm] U_{1}:={\vektor{x \\ y \\ z}:xy+yz+zx=0\} [/mm] im [mm] \IQ- [/mm] Vektorraum [mm] \IQ^{3\times1}
[/mm]
b) [mm] U_{3}:={(a_{k})_{k\ge0} \in \IR^{\IN}:a_{k}\not=0 nur für endlich viele k \} [/mm] im [mm] \IR- [/mm] Vektorraum [mm] \IR^{\IN}
[/mm]
Die Frage ist, welche der Teilmegen sind Undermoduln/Untervektorräume der angegebenen Moduln/Vektorräume?
Ich weiß, dass ich überprüfen muss
1.) [mm] U\not=\emptyset
[/mm]
2.) U abgeschlossn bzgl +
3.) Abgeschlossen gegenüber der Multiplikation mit Skalaren.
bei a) kann ich zeigen, dass [mm] U\not=\emptyset, [/mm] da der Nullvektor [mm] \inU_{1} [/mm] und die Abgeschlossenheit bzgl der Multiplikaton mit skalaren.
aber die abgeschlossenheit bzgl + kann ich nicht zeigen, somit ist [mm] U_{1}kein [/mm] Untermodul von IQ- Vektorraum [mm] \IQ^{3\times1}?
[/mm]
bei b) bin ich noch gar nicht weitergekommen!
Ich hoffe ihr könnt mir helfen, mich korrigieren. Vielen Dank
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> Hallo zusammen!
> Wir haben in dieser Woche in unserer Vorlesung die
> Begrisse Vektorraum und Untervektorraum eingeführt.
> Jetzt liegen mir folgende Übungsaufgaben vor:
> a) [mm]U_{1}:={\vektor{x \\ y \\ z}:xy+yz+zx=0\}[/mm] im [mm]\IQ-[/mm]
> Vektorraum [mm]\IQ^{3\times1}[/mm]
> b) [mm]U_{3}:= {(a_{k})_{k\ge0} \in \IR^{\IN}:a_{k}\not=0 nur für endlich viele k \}[/mm]
> im [mm]\IR-[/mm] Vektorraum [mm]\IR^{\IN}[/mm]
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> Die Frage ist, welche der Teilmegen sind
> Undermoduln/Untervektorräume der angegebenen
> Moduln/Vektorräume?
>
> Ich weiß, dass ich überprüfen muss
> 1.) [mm]U\not=\emptyset[/mm]
> 2.) U abgeschlossn bzgl +
> 3.) Abgeschlossen gegenüber der Multiplikation mit
> Skalaren.
>
> bei a) kann ich zeigen, dass [mm]U\not=\emptyset,[/mm] da der
> Nullvektor [mm]\inU_{1}[/mm] und die Abgeschlossenheit bzgl der
> Multiplikaton mit skalaren.
> aber die abgeschlossenheit bzgl + kann ich nicht zeigen,
Hallo,
warum kannst Du die Abgeschlossenheit nicht zeigen?
Weil Du es nicht kannst, oder weil's nicht abgeschlossen ist? In zweiterem Falle: Gegenbeispiel für Abgeschlossenheit nicht vergessen.
> somit ist [mm]U_{1}kein[/mm] Untermodul von IQ- Vektorraum
> [mm]\IQ^{3\times1}?[/mm]
>
> bei b) bin ich noch gar nicht weitergekommen!
Der [mm]\IR-[/mm] Vektorraum [mm]\IR^{\IN}[/mm], das sind doch die Folgen in [mm] \IR.
[/mm]
In der zu betrachtenden Menge sind genau die Folgen, deren Folgenglieder [mm] a_k [/mm] nur für endlich viele k ungleich Null sind. Oder anders: die Folgen, bei denen ab einer "Stelle" alle nachfolgendenFolgenglieder =0 sind.
Dir fällt bestimmt ein Grund ein, warum die zu betrachtende Teilmenge dieses Vektorraumes nichtleer ist. Oder?
Und was passiert, wenn Du solch eine folge mit einem r [mm] \in \IR [/mm] multiplizierst?
Und beim Addieren? Kann [mm] (a_n+b_n) [/mm] unendlich viele von Null verschiedene Folgenglieder haben?
Gruß v. Angela
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