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| Aufgabe | Lösen Sie die folgende partielle Differentialgleichung:
[mm] $a*u_x [/mm] + [mm] b*u_y [/mm] = x$ |
Hallo,
die obige partielle Differentialgleichung lässt sich ja auf (mindestens) zwei unterschiedliche Arten lösen. Da a und b konstante Koeffizienten, kann ich ja folgenden Ansatz machen:
substituiere:
[mm] $\xi [/mm] = b*x + a*y$
[mm] $\eta [/mm] = b*x - a*y$
dann ergibt sich für x bzw. y:
$x = [mm] \frac{\xi + \eta}{2*b}$
[/mm]
$y = [mm] \frac{\xi-\eta}{2*a}$
[/mm]
==>
$u(x,y) = [mm] u(\frac{\xi + \eta}{2*b}, \frac{\xi-\eta}{2*a} [/mm] = [mm] U(\xi, \eta)$
[/mm]
[mm] $a*u_x [/mm] + [mm] b*u_y [/mm] = x$ ist dann nun:
[mm] $a*(U_{\xi}*\frac{d\xi}{dx} [/mm] + [mm] U_{\eta} [/mm] * [mm] \frac{d\eta}{dx}) [/mm] + [mm] b*(U_{\xi}*\frac{d\xi}{dy} [/mm] + [mm] U_{\eta} [/mm] * [mm] \frac{d\eta}{dy}) [/mm] = [mm] \frac{\xi + \eta}{2*b} [/mm] = $
$2*a*b * [mm] U_{\xi} [/mm] = [mm] \frac{\xi + \eta}{2*b} [/mm] = $
[mm] $U_{\xi} [/mm] = [mm] \frac{1}{2*a*b} [/mm] * [mm] \frac{\xi + \eta}{2*b} [/mm] = $
[mm] $U_{\xi} [/mm] = [mm] \frac{1}{2*a*b^2} [/mm] * [mm] (\xi [/mm] + [mm] \eta)$
[/mm]
==> $U = [mm] \frac{1}{2*a*b^2} [/mm] * [mm] \integral{(\xi + \eta) d\xi + w(\eta)}$ [/mm] mit beliebiger Funktion w
$U = [mm] \frac{1}{2*a*b^2} [/mm] * [mm] (\frac{\xi^2}{2} [/mm] + [mm] \xi [/mm] * [mm] \eta) [/mm] + [mm] w(\eta)$
[/mm]
Wenn ich dann mit [mm] $\xi [/mm] = b*x + a*y$ und [mm] $\eta [/mm] = b*x - a*y$ rücksubsituiere und etwas vereinfache, dann komme ich (wenn ich mich nicht verrechnet habe) auf folgende allgemeine Lösung:
$u(x,y) = [mm] \frac{3*b^2 *x^2 + 2*a*b*x*y - a^2 * y^2}{8*a*b^2} [/mm] + w(b*x - a*y)$
Desweiteren gibts ja die Möglichkeit das mit der Methode der Charakteristiken zu lösen. Wenn ich das ansetze, dann komme ich auf folgende Phasendifferentialgleichungen:
[mm] \frac{dx}{dt} [/mm] = a
[mm] \frac{dy}{dt} [/mm] = b
[mm] \frac{du}{dt} [/mm] = x
==> [mm] \frac{dx}{dy} [/mm] = [mm] \frac{a}{b}
[/mm]
==> [mm] \frac{dx}{du} [/mm] = [mm] \frac{a}{x}
[/mm]
Wenn ich das charakteristische Gleichungssystem löse, dann bekomme ich für die erste Gleichung:
[mm] $c_1 [/mm] = x*b - y*a$
Und für die zweite Gleichung:
[mm] $c_2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - a*u$
Laut meiner Vorlesungsmitschrift setzt sich nun die allgemeine Lösung zusammen als: $u(x,y) = [mm] w(c_1, c_2) [/mm] = w((x*b - y*a), [mm] (x^2 [/mm] - a*u))$
Nun ist mir aufgefallen, dass die beiden Methoden für meine partielle Differentialgleichung total unterschiedliche Lösungen liefern. Das sollte ja nicht sein, oder? Habt ihr vielleicht eine Idee, wo mein Fehler liegen könnte?
Ich danke euch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 So 01.07.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Lösen Sie die folgende partielle Differentialgleichung:
> [mm]a*u_x + b*u_y = x[/mm]
>
> Hallo,
>
> die obige partielle Differentialgleichung lässt sich ja
> auf (mindestens) zwei unterschiedliche Arten lösen. Da a
> und b konstante Koeffizienten, kann ich ja folgenden Ansatz
> machen:
>
> substituiere:
> [mm]\xi = b*x + a*y[/mm]
> [mm]\eta = b*x - a*y[/mm]
>
> dann ergibt sich für x bzw. y:
> [mm]x = \frac{\xi + \eta}{2*b}[/mm]
>
> [mm]y = \frac{\xi-\eta}{2*a}[/mm]
>
> ==>
> [mm]u(x,y) = u(\frac{\xi + \eta}{2*b}, \frac{\xi-\eta}{2*a} = U(\xi, \eta)[/mm]
>
> [mm]a*u_x + b*u_y = x[/mm] ist dann nun:
> [mm]a*(U_{\xi}*\frac{d\xi}{dx} + U_{\eta} * \frac{d\eta}{dx}) + b*(U_{\xi}*\frac{d\xi}{dy} + U_{\eta} * \frac{d\eta}{dy}) = \frac{\xi + \eta}{2*b} =[/mm]
>
> [mm]2*a*b * U_{\xi} = \frac{\xi + \eta}{2*b} = U_{\xi} = \frac{1}{2*a*b} * \frac{\xi + \eta}{2*b} =[/mm]
>
> [mm]U_{\xi} = \frac{1}{2*a*b^2} * (\xi + \eta)[/mm]
[mm] U_{\xi} = \frac{1}{\red{4}*a*b^2} * (\xi + \eta)[/mm]
> ==> [mm]U = \frac{1}{2*a*b^2} * \integral{(\xi + \eta) d\xi + w(\eta)}[/mm]
[mm]U = \frac{1}{\red{4}*a*b^2} * \integral{(\xi + \eta) d\xi + w(\eta)}[/mm]
> mit beliebiger Funktion w
> [mm]U = \frac{1}{2*a*b^2} * (\frac{\xi^2}{2} + \xi * \eta) + w(\eta)[/mm]
[mm] U = \frac{1}{\red{4}*a*b^2} * (\frac{\xi^2}{2} + \xi * \eta) + w(\eta)[/mm]
> Wenn ich dann mit [mm]\xi = b*x + a*y[/mm] und [mm]\eta = b*x - a*y[/mm]
> rücksubsituiere und etwas vereinfache, dann komme ich
> (wenn ich mich nicht verrechnet habe) auf folgende
> allgemeine Lösung:
> [mm]u(x,y) = \frac{3*b^2 *x^2 + 2*a*b*x*y - a^2 * y^2}{8*a*b^2} + w(b*x - a*y)[/mm]
Du kannst es dir etwas einfacher machen und U schreiben als
[mm] U = \frac{1}{\red{4}*a*b^2} * (\frac{\xi^2}{2} + \xi * \eta + \bruch{\eta^2}{2}) + w(\eta)[/mm],
da du ja eine beliebige Funktion von [mm] $\eta$ [/mm] addierst. Damit ist
[mm] u(x,y) = \bruch{x^2}{2a} + w(b*x - a*y)[/mm] .
Die Funktion w wird durch die Anfangs- bzw. Randbedingungen festgelegt.
> Desweiteren gibts ja die Möglichkeit das mit der Methode
> der Charakteristiken zu lösen. Wenn ich das ansetze, dann
> komme ich auf folgende Phasendifferentialgleichungen:
> [mm]\frac{dx}{dt}[/mm] = a
> [mm]\frac{dy}{dt}[/mm] = b
> [mm]\frac{du}{dt}[/mm] = x
>
> ==> [mm]\frac{dx}{dy}[/mm] = [mm]\frac{a}{b}[/mm]
> ==> [mm]\frac{dx}{du}[/mm] = [mm]\frac{a}{x}[/mm]
>
> Wenn ich das charakteristische Gleichungssystem löse, dann
> bekomme ich für die erste Gleichung:
> [mm]c_1 = x*b - y*a[/mm]
> Und für die zweite Gleichung:
> [mm]c_2 = x^2 - a*u[/mm]
Insbesondere sind [mm] $c_1$ [/mm] und [mm] $c_2$ [/mm] Konstanten, die durch die Anfangsbedingungen deiner Phasendifferentialgleichungen festeglegt werden.
Interessant daran ist, dass die erste Gleichung in den obigen neuen Koordinaten bedeutet, dass [mm] $\eta=c_1$ [/mm] durch die Anfangsbedingung festgelegt ist. Das ist durchaus plausibel: eine Anfangsbedingung der Form
[mm] u(x,0) = f(x) [/mm]
würde ja bedeuten, dass entweder die Funktion w oder aber ihr Argument [mm] $\eta$ [/mm] konstant sein muss.
> Laut meiner Vorlesungsmitschrift setzt
> sich nun die allgemeine Lösung zusammen als: [mm]u(x,y) = w(c_1, c_2) = w((x*b - y*a), (x^2 - a*u))[/mm]
Ds verstehe ich nun gar nicht: du schreibst u als Funktion von u? Das kann ja nicht die allgemeine Lösung sein. Außerdem kann ist das w hier natürlich eine ganz ander Funktion als das w oben.
> Nun ist mir aufgefallen, dass die beiden Methoden für
> meine partielle Differentialgleichung total
> unterschiedliche Lösungen liefern.
Das sehe ich so nicht. Du hast unterschiedliche Lösungsmethoden und musst deine allgemeine Lösung passend formulieren. Bei der ersten Methode hast du das getan, bei der zweiten nicht.
Viele Grüße
Rainer
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