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| Aufgabe | Gegeben sei das Gleichungssystem
w+2y+4z=a
x+y+z=1
w+2x+4y+6z=7
a) Für welche Werte von a ist die Lösungsmenge nicht leer?
b) Geben Sie die Lösungsmenge bei gegebenen a in Vektorform! |
Hallo
ja, ich habe eigenlich ziehmlich keine Ahnung wo ich ansetzten soll. Aus dem meinem Script werde ich einfach nicht schlauer...
wo und wie soll ich ansetzen?
Einziger Gedanke: könne zb. die erste Gleichung nach W auflösen und das Resultat in Gleichung 3 einsetzten. Gleichung zwei nach y und dann in Gleichung 3 einsetzen...
aber wie weiter, oder ganz anderes anfangen?
danke im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:30 Di 29.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gegeben sei das Gleichungssystem
> w+2y+4z=a
> x+y+z=1
> w+2x+4y+6z=7
>
> a) Für welche Werte von a ist die Lösungsmenge nicht leer?
> b) Geben Sie die Lösungsmenge bei gegebenen a in
> Vektorform!
das heißt, es geht um die Lösbarkeit der Gleichung
[mm] $\pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4 & 6}*\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}=\vektor{a\\1\\7}$
[/mm]
Am besten schaust Du nochmal in die Vorlesung, da findest Du sicherlich einen Satz:
Ein lineares Gleichungssystem $A*x=b$ besitzt genau dann (mindestens) eine Lösung, wenn rg(A)=rg(A,b).
D.h. oben:
Um a) zu beantworten, muss man herausfinden, für welche Variablen $a$ gilt:
[mm] $rg\pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4 & 6}=rg\pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 & a \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4 & 6 & 7}$
[/mm]
Im großen und ganzen sollte Dir der Gaußalgorithmus hier helfen (auch für Teil b)).
P.S.:
Ein Tipp:
[mm] $rg\pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4 & 6}=2$, [/mm] denn:
Die erste und zweite Spalte(nvektoren) sind sicherlich linear unabängig.
Dann:
2 *Spalte Eins + Spalte Zwei ergibgt Spalte Drei.
2 *Spalte Eins + Spalte Drei ergibt Spalte Vier.
D.h., um herauszufinden, für welche Variable $a$ das obige Gleichungssystem lösbar ist, genügt es, herauszufinden, für welche Variable $a$ gilt, dass
[mm] $\det \pmat{ 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 7}=0$
[/mm]
Hier gilt nämlich:
Genau dann ist das obige Gleichungssystem lösbar, wenn die letzte Determinante verschwindet.
(Warum? Beachte die Rangaussagen meinerseits über die auftretenden Matrizen, das ist hier wichtig dabei!)
Würde diese Determinante nämlich nicht verschwinden, so hätte die Matrix [mm] $\pmat{ 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 7}$ [/mm] und damit auch die Matrix [mm] $rg\pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 & a \\ 0 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4 & 6 & 7}$ [/mm] den Rang 3.
P.P.S.:
Ein weitere Tipp:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/linalg.pdf
Kapitel 9, S.54ff:
[mm] $\rightarrow$ [/mm] Zusammenhang zwischen homogenen und inhomogenen Gleichungssystemen
Gruß,
Marcel
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So, erstamal danke
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 6 }
[/mm]
Um den Rang zu bestimmen auf Treppenform gebracht
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
--> Rang 2
damit von beiden Matrizen der Rang identisch ist, müsste a=5 sein, weil
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 & a \\ 0 & 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 & 2 & 4 & 6 & 7}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 & a \\ 0 & 1 & 1 & 1 &1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 7-a}
[/mm]
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 & a \\ 0 & 1 & 1 & 1 &1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7-a-2}
[/mm]
jezt muss 7-a-2 gleich null sein.
also 7-a-2=0, daraus folgt, a = 5
Soweit sogut? Ja, müsste schon oder?
Nun zur Vektorform:
Hättest du mir da auch noch einen Tipp?
Müsst ja irgendwie so ausschauen
x = [mm] \vektor{w \\ x \\ y \\ z} [/mm] + u [mm] \vektor{w \\ x \\ y \\ z} [/mm] + v [mm] \vektor{w \\ x \\ y \\ z}
[/mm]
Bloss, wie erhalte ich die einzelnen Vektoren bez. faktur u und v?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Di 29.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> So, erstamal danke
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 4 & 6 }[/mm]
>
> Um den Rang zu bestimmen auf Treppenform gebracht
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>
> --> Rang 2
>
> damit von beiden Matrizen der Rang identisch ist, müsste
> a=5 sein, weil
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 & a \\ 0 & 1 & 1 & 1 &1 \\ 1 & 2 & 4 & 6 & 7}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 & a \\ 0 & 1 & 1 & 1 &1 \\ 0 & 2 & 2 & 2 & 7-a}[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 & a \\ 0 & 1 & 1 & 1 &1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 7-a-2}[/mm]
>
> jezt muss 7-a-2 gleich null sein.
> also 7-a-2=0, daraus folgt, a = 5
>
> Soweit sogut? Ja, müsste schon oder?
Jepp, ich hab's zwar nur grob überflogen, aber über den von mir vorgeschlagenen Weg mittels der Determinante folgt auch $a=5$ 
> Nun zur Vektorform:
>
> Hättest du mir da auch noch einen Tipp?
>
> Müsst ja irgendwie so ausschauen
>
> x = [mm]\vektor{w \\ x \\ y \\ z}[/mm] + u [mm]\vektor{w \\ x \\ y \\ z}[/mm]
> + v [mm]\vektor{w \\ x \\ y \\ z}[/mm]
>
> Bloss, wie erhalte ich die einzelnen Vektoren bez. faktur u
> und v?
Na, Du erhälst keine "einzelne" feste Lösung, sondern einen "Lösungsraum". Dieser Lösungsraum ist ein affiner Unterraum der Dimension 2, also sozusagen "eine verschobene Ebene".
Außerdem meintest Du eher sowas:
[mm]x=\vektor{w_1 \\ x_1 \\ y_1 \\ z_1}+ u*\vektor{w_2 \\ x_2 \\ y_2 \\ z_2}+v*\vektor{w_3 \\ x_3 \\ y_3 \\ z_3}[/mm]
mit Skalaren $u,v [mm] \in \IR$.
[/mm]
Denn warum sollten die Vektoren
[mm] $\vektor{w_1 \\ x_1 \\ y_1 \\ z_1},\vektor{w_2 \\ x_2 \\ y_2 \\ z_2},\vektor{w_3 \\ x_3 \\ y_3 \\ z_3}$ [/mm]
alle gleich sein? Außerdem wäre die Lösungsmenge im Falle der Gleichheit dieser 3 Vektoren dann hier ja ein Unterraum der Dimension 1....
Jedenfalls:
Du kannst nun anhand Deiner obigen Rechnung für $a=5$ ablesen (ich schreibe wieder wie vorher bei mir [mm] $x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}$):
[/mm]
Man kann z.B. [mm] $x_3=r \in \IR$ [/mm] und [mm] $x_4=s \in \IR$ [/mm] frei wählen. Dann folgt
[mm] $x_2=1-r-s$ [/mm] und damit
[mm] $x_1=5-2r-4s$, [/mm] also:
[mm] $\left\{ \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}: x_1=5-2r-4s, x_2=1-r-s, x_3=r, x_4=s; \mbox{ } r,s \in \IR \right\}=\left\{ \vektor{5-2r-4s\\1-r-s\\r\\s}: r,s \in \IR \right\}$
[/mm]
Und jetzt schreibe mal [mm] $\vektor{5-2r-4s\\1-r-s\\r\\s}$ [/mm] in der Form:
[mm] $\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}+r*\vektor{c_1\\c_2\\c_3\\c_4}+s*\vektor{d_1\\d_2\\d_3\\d_4}$
[/mm]
Wenn Du nun mal ins Skript reinguckst (Satz 9.4):
Was hat [mm] $\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}$ [/mm] hier für eine Funktion? Und was hat es mit
[mm] $\left\{ \vektor{-2r-4s\\-r-s\\r\\s}: r,s \in \IR \right\}$
[/mm]
auf sich?
Also das letzte sind einfach nur Fragen, die Dir beim Verständnis der Aussage aus Satz 9.4 helfen sollen. Das ist nicht schlecht, sich das mal an diesem Beispiel klarzumachen.
Gruß,
Marcel
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Oh prima
dann erhalte ich
[mm] \vektor{5\\1\\0\\0}+r\cdot{}\vektor{-2\\-1\\1\\0}+s\cdot{}\vektor{-4\\-1\\0\\1}
[/mm]
Habe das eben kurz mit den Lösungen abgelichten.
[mm] \vektor{5\\1\\0\\0}+5\cdot{}\vektor{-2\\-1\\1\\0}+t\cdot{}\vektor{-4\\-1\\0\\1}
[/mm]
also wurde für r der wert 5 eingesetzt. kommt das vom vorher berechneten a oder ist das nur zufall? Wie komme ich sonnst auf die 5?
[mm] \vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}+r\cdot{}\vektor{c_1\\c_2\\c_3\\c_4}+s\cdot{}\vektor{d_1\\d_2\\d_3\\d_4} [/mm]
y1-y4 sind die Koordinaten des Aufpunkes?
c1-c4 bez. d1-d4 sind Koordinaten von zwei Vektoren die eine Ebene aufspannen. Alle möglichen Lösungen müssen sich also in dieser Ebene befinden?
PS: Ich nehme an, dass r und s für ein beliebiges x gewählt werden kann und nicht fix auf x3, x4 bezogen ist! Richtig?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:34 Do 31.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Oh prima
>
> dann erhalte ich
>
> [mm]\vektor{5\\1\\0\\0}+r\cdot{}\vektor{-2\\-1\\1\\0}+s\cdot{}\vektor{-4\\-1\\0\\1}[/mm]
>
> Habe das eben kurz mit den Lösungen abgelichten.
>
> [mm]\vektor{5\\1\\0\\0}+5\cdot{}\vektor{-2\\-1\\1\\0}+t\cdot{}\vektor{-4\\-1\\0\\1}[/mm]
>
> also wurde für r der wert 5 eingesetzt. kommt das vom
> vorher berechneten a oder ist das nur zufall? Wie komme ich
> sonnst auf die 5?
ich nehme an, dass ihr dort anstatt $r,s$ die "freien Variablen" $s,t$ genannt habt, und dass Du (oder wer auch immer) sich da verschrieben hat, so dass anstatt der 5 dort ein s stehen sollte.
Beachte, dass der "Lösungsraum" eine verschobene Ebene, also ein "affiner Unterraum" der Dimension 2 ist. Und die Gleichung:
[mm]x=\vektor{5\\1\\0\\0}+5\cdot{}\vektor{-2\\-1\\1\\0}+t\cdot{}\vektor{-4\\-1\\0\\1}[/mm]
beschreibt aber nur eine Gerade (diese hat Dimension 1). Übrigens habe ich meine Lösung kontrolliert, sowohl theoretisch (mit Aussagen über Dimensionen des Lösungsraumes), als auch "praktisch".
("Praktisch" in diesem Sinne:
Du kannst ja z.B. [mm]x=\vektor{5\\1\\0\\0}+r\cdot{}\vektor{-2\\-1\\1\\0}+s\cdot{}\vektor{-4\\-1\\0\\1}[/mm] berechnen für:
1.: $r=s=0$
2.: $r=0$ und $s=1$
3.: $r=1$ und $s=0$
und dann (jeweils) prüfen, ob diese $x$ die Gleichung $A*x=b$ erfüllen.)
> [mm]\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}+r\cdot{}\vektor{c_1\\c_2\\c_3\\c_4}+s\cdot{}\vektor{d_1\\d_2\\d_3\\d_4}[/mm]
>
> y1-y4 sind die Koordinaten des Aufpunkes?
> c1-c4 bez. d1-d4 sind Koordinaten von zwei Vektoren die
> eine Ebene aufspannen. Alle möglichen Lösungen müssen sich
> also in dieser Ebene befinden?
>
> PS: Ich nehme an, dass r und s für ein beliebiges x gewählt
> werden kann und nicht fix auf x3, x4 bezogen ist! Richtig?
Ja, wie gesagt, $r$ und $s$ sind frei wählbar. D.h. wie auch immer du $r$ und $s$ wählst (einzige Bedingung: sie müssen reellwertig sein, also $r=1+i$ ginge nicht!) (z.B. [mm] $r=\pi$ [/mm] und [mm] $s=\sqrt{e^{\pi}}$), [/mm] daraus errechnet sich dann in eindeutiger Weise ein Vektor $x [mm] \in \IR^4$ [/mm] der die Ausgangsgleichung $A*x=b$ löst.
Mal zu den Vektoren:
Du hast das geometrisch gedeutet, was ja auch okay ist. Aber ich wollte eigentlich auf den Satz aus dem Skript hinaus:
Wir hatten $A*x=b$ zu lösen, und wir hatten herausgefunden, dass der Lösungsraum dieser Gleichung in der Form
[mm] $\left\{\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}+r\cdot{}\vektor{c_1\\c_2\\c_3\\c_4}+s\cdot{}\vektor{d_1\\d_2\\d_3\\d_4}; \mbox{ } r,s \in \IR \right\}$
[/mm]
gegeben ist.
(Wobei die "Spannvektoren" hier linear unabhängig sind.)
Hierbei ist dann einfach [mm] $\vektor{y_1\\y_2\\y_3\\y_4}$ [/mm] eine spezielle Lösung von $A*x=b$ (man braucht ja nur $r=s=0$ zu wählen). Und die Menge
[mm] $\left\{r\cdot{}\vektor{c_1\\c_2\\c_3\\c_4}+s\cdot{}\vektor{d_1\\d_2\\d_3\\d_4}; \mbox{ } r,s \in \IR\right\}$
[/mm]
wäre dann einfach die Lösungsmenge (der Lösungsraum) der zu $A*x=b$ zugehörigen affinen Gleichung:
$A*x=0$ (rechterhand hier [mm] $0=\vektor{0\\0\\0} \in \IR^3$)
[/mm]
Zur Erinnerung:
Hier waren:
[mm] $A=\pmat{ 1 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4 & 6}$,
[/mm]
[mm] $x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}$ [/mm] und [mm] $b=\vektor{5\\1\\7}$ [/mm]
Es ging mir einfach darum, dass Du erkennst, wie dieser Satz hier zu unserer Rechnung passt. Und so könnte man dann natürlich auch an die Aufgabe herangehen:
Zunächst rate man eine spezielle Lösung von A*x=b, diese sei y. Danach löse man $A*x=0$ und erhält (hier) einen zweidimensionalen Unterraum des [mm] $\IR^4$, [/mm] der z.B. mittels [mm] $\{r*c+s*d; \mbxo{ } r,s \in \IR\}$ [/mm] (mit [mm] $c=(c_1,c_2,c_3,c_4)^T$ [/mm] und [mm] $d=(d_1,d_2,d_3,d_4)^T$ [/mm] von oben) beschrieben werden kann. Der Lösungsraum von $A*x=b$ wird danach dann einfach durch die Menge:
[mm] $y+\{r*c+s*d; \mbox{ }r,s \in \IR\}:=\{y+r*c+s*d; \mbox{ }r,s \in \IR\}$
[/mm]
beschrieben.
Es geht mir einfach nur darum, dass Du erkennst, dass das, was wir nun direkt mittels Anwendung des Gaußalgorithmus auf $A*x=b$ errechnet haben, zu der Aussage des Satzes im Skript passt.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:07 Fr 01.02.2008 | | Autor: | little_doc |
Vielen Dank,
Gruess Tobi
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