ungleichungen beweisen < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:59 Do 23.10.2008 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | | Beweise ohne verwendung der binomialformel: [mm] (1+x)^n \ge [/mm] 1+n*x für alle [mm] n\in \IN [/mm] und [mm] x\in \IR [/mm] mit [mm] x\ge [/mm] -1 |
ich habe ein allgemeines problem, wie ich bei ungleichungen beweise führe! wie weit und was muss ich umformen, damit ich abschätzen/belegen kann, dass eine aussage stimmt (oder eben nicht)? am besten ist es natürlich, auf beiden seiten das gleiche stehen zu haben und wenn rechts zb noch ein summand mehr auftaucht, so ist die rechte seite größer....
obige ungleichung soll einfach einmal als bsp dienen.
danke für jede hilfe, grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweise: [mm](1+x)^n \ge[/mm] 1+n*x für alle [mm]n\in \IN[/mm] und [mm]x\in \IR[/mm]
> mit [mm]x\ge[/mm] -1
> ich habe ein allgemeines problem, wie ich bei
> ungleichungen beweise führe! wie weit und was muss ich
> umformen, damit ich abschätzen/belegen kann, dass eine
> aussage stimmt (oder eben nicht)? am besten ist es
> natürlich, auf beiden seiten das gleiche stehen zu haben
> und wenn rechts zb noch ein summand mehr auftaucht, so ist
> die rechte seite größer....
>
> obige ungleichung soll einfach einmal als bsp dienen.
Hallo,
bei Ungleichungen beginnt man normalerweise mit der einen Seite, und die formt man dann um und schätzt ab, bis am Ende die andere Seite dasteht.
Ein allgemeines Rezept zu geben ist kaum möglich, denn mann kan ja sehr verschieden abschätzen, u.U. braucht man auch mal ziemlich viel Wissen für eine Abschätzung, und wie man abschätzt, hat natürlich auch etwas mit dem Ziel zu tun, welches man hat.
Wenn ich beim Bäcker 5 normale Brötchen, ein Rosinenbrötchen und ein Kümmelbrötchen kaufe und ich wissen will, ob die 2.51 Euro in meiner Hosentasche reichen, muß ich anders (genauer) abschätzen, als wenn ich einen 20-Euro-Schein dabeihabe.
Hüten muß man sich davor, Abschätzungen mit irgendwelchen Äquivalenzumformungen zu zeigen. Dabei macht man sehr leicht Fehler.
Zu Deiner Bernoulli-Ungleichung: die beweist man mit vollständiger Induktion. Im Induktionsschritt muß man dann abschätzen. Das ist ziemlich einfach und kurz, mach das doch mal.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Do 23.10.2008 | | Autor: | gigi |
gut, also induktionsanfang für n=1 ergibt eine w.A.
im induktionsschluss schließe ich nun von n auf n+1, es ist also zu zeigen, dass [mm] (1+x)^{n+1} \ge [/mm] 1+(n+1)x
beim umformen komme ich dann so weit:
[mm] (1+x)^{n+1}= (1+x)^n [/mm] (1+x) [mm] \ge [/mm] (1+nx) (1+x) -einsetzen der vor.
[mm] =1+nx+x+nx²=1+(n+1)x+nx²\ge [/mm] 1+(n+1)x
damit wäre der beweis doch fertig, oder?
die voraussetzung [mm] x\ge [/mm] -1 könnte/sollte ich auch noch verwenden, aber an welcher stelle??
ich darf im übrigen keine binomialformel anwenden!
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> gut, also induktionsanfang für n=1 ergibt eine w.A.
>
> im induktionsschluss schließe ich nun von n auf n+1, es ist
> also zu zeigen, dass [mm](1+x)^{n+1} \ge[/mm] 1+(n+1)x
>
> beim umformen komme ich dann so weit:
>
[mm] >(1+x)^{n+1}= \red{(1+x)^n(1+x) \ge (1+nx) (1+x)} [/mm] -einsetzen der
> vor.
> [mm]=1+nx+x+nx²=1+(n+1)x+nx²\ge[/mm] 1+(n+1)x
> damit wäre der beweis doch fertig, oder?
>
> die voraussetzung [mm]x\ge[/mm] -1 könnte/sollte ich auch noch
> verwenden, aber an welcher stelle??
Hallo,
ja, wenn man eine Voraussetzung hat, die man dann nicht verwendet, ist's immer verdächtig.
Du hast an der markierten Stelle folgendes verwendet:
[mm] (1+x)^n\ge [/mm] 1+nx
==>
[mm] (1+x)^n(1+x)\ge [/mm] (1+nx)(1+x),
und das gilt nur für [mm] 1+x\ge [/mm] 1.
>
> ich darf im übrigen keine binomialformel anwenden!
Hast Du doch auch nicht.
Gruß v. Angla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:28 Do 23.10.2008 | | Autor: | gigi |
>
> Du hast an der markierten Stelle folgendes verwendet:
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> [mm](1+x)^n\ge[/mm] 1+nx
>
> ==>
>
> [mm](1+x)^n(1+x)\ge[/mm] (1+nx)(1+x),
>
> und das gilt nur für [mm]1+x\ge[/mm] 1.
wie schreibst du das formal auf? einfach einen pfeil an entsprechender stelle mit der bemerkung?
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> > Du hast an der markierten Stelle folgendes verwendet:
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> > [mm](1+x)^n\ge[/mm] 1+nx
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> > [mm](1+x)^n(1+x)\ge[/mm] (1+nx)(1+x),
> >
> > und das gilt nur für [mm]1+x\ge[/mm] 1.
>
> wie schreibst du das formal auf? einfach einen pfeil an
> entsprechender stelle mit der bemerkung?
hallo,
ja, wenn's einem erst "unterwegs" auffällt, kann man's so machen.
Oder besser: 'ne kleine Zahl, und man schreibt dann später was dazu.
Oder etwas nobler: man schreibt dies als Vorüberlegung auf, bevor man mit der eigentlichen Ungleichungskette beginnt, versieht' mit [mm] (\*) [/mm] und schreibt dann bei der Ungleichungskette an der passenden Stelle [mm] (\*) [/mm] aufs [mm] \ge. [/mm]
Gruß v Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:57 Do 23.10.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
So gehts auch:
[mm] ...\stackrel{\text{da}x\ge-1}{\ge}...
[/mm]
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