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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Mo 07.11.2005 | | Autor: | worromot |
meine aufgabe:
(1- [mm] \bruch{2}{5})^n [/mm] < [mm] \Delta
[/mm]
für delta soll 2,1,0.5,1/125 einsetzen.
betsimmen sie alle natürlichen zahlen N, so dass die ungleichung und alle natülichen zahlen n mit der eigenschaft n>=N erfüllt ist.
meine frage: wie löse ich die ungleichung nach n auf ?
ich komm nicht drauf vielleicht könnt ihr mir auf sprünge helfen!
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Hallo worromot,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> meine aufgabe:
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> (1- [mm]\bruch{2}{5})^n[/mm] < [mm]\Delta[/mm]
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> für delta soll 2,1,0.5,1/125 einsetzen.
>
> betsimmen sie alle natürlichen zahlen N, so dass die
> ungleichung und alle natülichen zahlen n mit der
> eigenschaft n>=N erfüllt ist.
>
> meine frage: wie löse ich die ungleichung nach n auf ?
> ich komm nicht drauf vielleicht könnt ihr mir auf sprünge
> helfen!
Logarithmiere beide Seiten. Beachte daß der Logarithmus von [mm]1\;-\;\frac{2}{5}[/mm] kleiner 0 ist. Demzufolge dreht sich das Vorzeichen um, wenn Du durch diese Zahl dividierst.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:21 Mo 07.11.2005 | | Autor: | worromot |
kannst du mir bitte ziegen wie du das meinst mit dem logarithmus.
zeig mal ein beispeil bitte ?
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Hallo worromot!
[mm] $\left(1-\bruch{2}{5}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{3}{5}\right)^n [/mm] \ < \ [mm] \Delta$
[/mm]
Nun auf beiden Seiten logarithmieren und  Logarithmusgesetz [mm] $\log_b\left(a^m\right) [/mm] \ = \ [mm] m*\log_b(a)$ [/mm] anwenden:
[mm] $\ln\left(\bruch{3}{5}\right)^n [/mm] \ < \ [mm] \ln(\Delta)$
[/mm]
[mm] $n*\ln\left(\bruch{3}{5}\right) [/mm] \ < \ [mm] \ln(\Delta)$ $\left| \ : \ \ln\left(\bruch{3}{5}\right) \ \red{< \ 0}$
$n \ \red{>} \ \bruch{\ln(\Delta)}{\ln\left(\bruch{3}{5}\right)} \ = \ \bruch{\ln(\Delta)}{\ln(3)-\ln(5)}$
Gruß vom
Roadrunner
[/mm]
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